Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 55, 57, 26, 19, 40.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 140 z įvertį z.

μ = 170σ = 15x = 140

z =

3.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 8 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 8

P =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 7p = 0,4

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 480 ir 542 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 542

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

9 elementų imties vidurkis – 24,5, standartinis nuokrypis s = 2. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 9x̄ = 24,5s = 295%t(8) = 2,306

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 22. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?

σ = 22E = 395%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

100 studentų imties vidutinis rezultatas – 99,1, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 99,1s = 5n = 100

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 4E = 299%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4,5, 15). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 15)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,95

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 197/5 = 39,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 15,6² + 17,6² + (−13,4)² + (−20,4)² + 0,6² = 1149

Standartinis nuokrypis

s = √(1149/4) = 16,95

Atsakymas

s = 16,95

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −2

Standartizuokite

z = (140 − 170)/15 = −2

Atsakymas

z = −2

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7674

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Atsakymas

P = 0,7674

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1586

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Sudėkite

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Atsakymas

P = 0,1586

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5446

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5

z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05

Plotas tarp

P = Φ(1,05) − Φ(−0,5) = 0,8531 − 0,3085 = 0,5446

Atsakymas

P = 0,5446

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 45,96 min

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Atsakymas

x = 45,96 min

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 22,96

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Paklaidos riba

E = 2,306·2/√9 = 1,537

Intervalas

24,5 ± 1,537 → [22,96, 26,04]

Atsakymas

apatinis rėžis = 22,96

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 207

Išreikškite n

n = (1,96·22/3)² = 206,6

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 207

Atsakymas

n = 207

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Testo statistika

t = (99,1 − 100)/0,5 = −1,8

Atsakymas

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 27

Išreikškite n

n = (2,576·4/2)² = 26,54

Apvalinkite aukštyn

n = 27

Atsakymas

n = 27

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,8847

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 137/6 = 22,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 90,83

Determinacijos koeficientas

r² = −37,5²/(17,5·90,83) = 0,8847

Atsakymas

r² = 0,8847

Apie 88,47% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3,119

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 91/6 = 15,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57,5

Regresijos tiesė

b = −57,5/17,5 = −3,286

a = 15,17 − (−3,286)·3,5 = 26,67

ŷ = 26,67 − 3,286·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 26,67 + (−3,286)·4,5 = 11,88

Liekana

e = 15 − 11,88 = 3,119

Atsakymas

e = 3,119

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1