Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 11, 25, 42, 24, 34, 59.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Raskite rezultato 410 z įvertį z.

μ = 500σ = 60x = 410
z =
3.TikimybėVidutinis
n = 13k = 4N = ?

Keliais būdais N iš 13 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 13k = 4
N =
4.TikimybėSunkus
xp(x)00,220,2540,260,35μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,35Y = 2X + 10
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
32 min35,8 minX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 35,8 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 35,8 min
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
380420460500540580620hviršus 70%

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 70 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 11, s = 12LUx̄ = 54E = ?90%

11 elementų imties vidurkis – 54, standartinis nuokrypis s = 12. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 11x̄ = 54s = 1290%t(10) = 1,812
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
p ≈ 0,8, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0590%

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,8. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,05?

p ≈ 0,8E = 0,0590%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,0452,045t = ?df = 29

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 18 studentų, vidutinis rezultatas 98,5, standartinis nuokrypis 6. 2 grupė: 13 studentų, vidutinis rezultatas 101,1, standartinis nuokrypis 7. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 18x̄₁ = 98,5s₁ = 6n₂ = 13x̄₂ = 101,1s₂ = 7
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −2,57602,576

25 matavimų imties vidurkis – 117,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 117,9σ = 5n = 2599%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1323355407509641165xy5104060

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 36Σy = 286Σx² = 286Σy² = 14670Σxy = 1978
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy136345550765972xy54060x = 6

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 6.

n = 5x = 6
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,65

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 195/6 = 32,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−21,5)² + (−7,5)² + 9,5² + (−8,5)² + 1,5² + 26,5² = 1386

Standartinis nuokrypis

s = √(1386/5) = 16,65

Atsakymas

s = 16,65
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (410 − 500)/60 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5
3.Tikimybė

Atsakymas: N = 715

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

Atsakymas

N = 715
4.Tikimybė

Atsakymas: σY = 4,578

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 3,4, Var(X) = 5,24, σX = 2,289

Tiesinis pokytis

σY = |2|·2,289 = 4,578

Atsakymas

σY = 4,578

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·3,4 + 10 = 16,8.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,06426

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartizuokite

z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426

Atsakymas

P = 0,06426
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 479 h

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,3

z iš lentelės

z ≈ −0,52

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Atsakymas

x = 479 h
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 6,556

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Paklaidos riba

E = 1,812·12/√11 = 6,556

Atsakymas

E = 6,556
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 174

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,8·0,2/0,05² = 173,2

Apvalinkite aukštyn

n = 174

Atsakymas

n = 174
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,11

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

sp² = (17·6² + 12·7²)/29 = 41,38
sp = 6,433

Standartinė paklaida

SE = 6,433·√(1/18 + 1/13) = 2,341

Testo statistika

t = (98,5 − 101,1)/2,341 = −1,11

Atsakymas

t = −1,11

Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 120,5

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·5/√25 = 2,576

Intervalo rėžis

U = 117,9 + 2,576 = 120,5

Atsakymas

U = 120,5
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9723

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 1978 − 36·286/6 = 262
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 14670 − 286²/6 = 1037

Koreliacijos koeficientas

r = 262/√(70·1037) = 0,9723

Atsakymas

r = 0,9723
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 58,2

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 268/5 = 53,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

Regresijos tiesė

b = 184/40 = 4,6
a = 53,6 − 4,6·5 = 30,6
ŷ = 30,6 + 4,6·x

Prognozė

ŷ = 30,6 + 4,6·6 = 58,2

Atsakymas

ŷ = 58,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1