Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 47, 41, 58, 16, 41, 35.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 30?

μ = 60σ = 15x = 30

P =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 7 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

7 / 6

P =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15Y = 3X + 5

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 99,5 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 99.5 kg

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 141 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 138,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 9 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 80x̄₁ = 141 hσ₁ = 4 hn₂ = 50x̄₂ = 138,5 hσ₂ = 9 h90%

viršutinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,8. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p ≈ 0,8E = 0,0495%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 71, standartinis nuokrypis 6. 2 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 77, standartinis nuokrypis 7. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 11x̄₁ = 71s₁ = 6n₂ = 10x̄₂ = 77s₂ = 7

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

36 matavimų imties vidurkis – 49. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 49σ = 20n = 3695%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 48Σy = 353Σx² = 454Σy² = 21717Σxy = 3075

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,97

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 238/6 = 39,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 7,333² + 1,333² + 18,33² + (−23,67)² + 1,333² + (−4,667)² = 975,3

Standartinis nuokrypis

s = √(975,3/5) = 13,97

Atsakymas

s = 13,97

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2692

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Atsakymas

P = 0,2692

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 3,161

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 2,3, Var(X) = 1,11, σ_X = 1,054

Tiesinis pokytis

σ_Y = |3|·1,054 = 3,161

Atsakymas

σ_Y = 3,161

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·2,3 + 5 = 11,9.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,3085

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Standartizuokite

z = (99,5 − 100)/1 = −0,5

Tikimybė

P = Φ(−0,5) = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9633

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Atsakymas

P = 0,9633

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 4,719 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 141 − 138,5 = 2,5

Standartinė paklaida

SE = √(4²/80 + 9²/50) = 1,349

Paklaidos riba

E = 1,645·1,349 = 2,219

Intervalas

2,5 ± 2,219 → [0,2808, 4,719]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 4,719 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,8·0,2/0,04² = 384,2

Apvalinkite aukštyn

n = 385

Atsakymas

n = 385

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,115

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (10·6² + 9·7²)/19 = 42,16

s_p = 6,493

Standartinė paklaida

SE = 6,493·√(1/11 + 1/10) = 2,837

Testo statistika

t = (71 − 77)/2,837 = −2,115

Atsakymas

t = −2,115

Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 42,47

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·20/√36 = 6,533

Intervalo rėžis

L = 49 − 6,533 = 42,47

Atsakymas

L = 42,47

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9739

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 3075 − 48·353/6 = 251

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 21717 − 353²/6 = 948,8

Koreliacijos koeficientas

r = 251/√(70·948,8) = 0,9739

Atsakymas

r = 0,9739

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 50,55

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 241/5 = 48,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

Regresijos tiesė

b = 94/40 = 2,35

a = 48,2 − 2,35·5 = 36,45

ŷ = 36,45 + 2,35·x

Prognozė

ŷ = 36,45 + 2,35·6 = 50,55

Atsakymas

ŷ = 50,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1