Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 20, 35, 27, 35, 40.
n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 44 z įvertį z.
μ = 50σ = 5x = 44
z =
3.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 10 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 10k = 4
N =
4.TikimybėSunkus
Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,1, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 7p = 0,1k = 4
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 32 ir 41,3 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 41,3
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 100 h, žinomas standartinis nuokrypis 6 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 106,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n₁ = 40x̄₁ = 100 hσ₁ = 6 hn₂ = 50x̄₂ = 106,5 hσ₂ = 16 h95%
E = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 27. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 27E = 399%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
8 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 2,4, o skirtumų standartinis nuokrypis 6,8. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = 2,4sd = 6,8
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 138 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 49 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 138n₁ = 250x₂ = 49n₂ = 100
z =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 100Σy = 262Σx² = 2040Σy² = 14142Σxy = 5366
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (8, 74). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(8, 74)
e =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 7,893
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 157/5 = 31,4
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−11,4)² + 3,6² + (−4,4)² + 3,6² + 8,6² = 249,2
Standartinis nuokrypis
s = √(249,2/4) = 7,893
Atsakymas
s = 7,893
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −1,2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (44 − 50)/5 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
3.Tikimybė
Atsakymas: N = 210
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210
Atsakymas
N = 210
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,002552
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 4) = 35·0,14·0,93 = 35·0,0001·0,729 = 0,002552
Atsakymas
P = 0,002552
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4394
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55
Plotas tarp
P = Φ(1,55) − Φ(0) = 0,9394 − 0,5 = 0,4394
Atsakymas
P = 0,4394
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7881
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartizuokite
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,809 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 100 − 106,5 = −6,5
Standartinė paklaida
SE = √(6²/40 + 16²/50) = 2,454
Paklaidos riba
E = 1,96·2,454 = 4,809
Atsakymas
E = 4,809 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 538
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·27/3)² = 537,5
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 538
Atsakymas
n = 538
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,9983
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 6,8/√8 = 2,404
Testo statistika
t = 2,4/2,404 = 0,9983
Atsakymas
t = 0,9983
Kai df = 7, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,365; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,05
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 138/250 = 0,552
p̂₂ = 49/100 = 0,49
p̂ = 187/350 = 0,5343
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,5343·0,4657·(1/250 + 1/100)) = 0,05902
Testo statistika
z = (0,552 − 0,49)/0,05902 = 1,05
Atsakymas
z = 1,05
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9801
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 5366 − 100·262/5 = 126
Sxx = 2040 − 100²/5 = 40
Syy = 14142 − 262²/5 = 413,2
Koreliacijos koeficientas
r = 126/√(40·413,2) = 0,9801
Atsakymas
r = 0,9801
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −4,5
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 316/5 = 63,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
Regresijos tiesė
b = 204/40 = 5,1
a = 63,2 − 5,1·5 = 37,7
ŷ = 37,7 + 5,1·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 37,7 + 5,1·8 = 78,5
Liekana
e = 74 − 78,5 = −4,5
Atsakymas
e = −4,5
Taškas yra po tiese.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1