Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 47, 40, 30, 60, 30, 20.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 65 z įvertį z.

μ = 50σ = 12x = 65

z =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 5 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 3

P =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €5. Laimite €20 su tikimybe 0,1 ir €250 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €5€20: p = 0,1€250: p = 0,02

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9817. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9817

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 106,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 121 h, žinomas standartinis nuokrypis 11 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 40x̄₁ = 106,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 80x̄₂ = 121 hσ₂ = 11 h90%

apatinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 29,5 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. 2 sklypų grupė: 8 sklypų, vidurkis 30 kg, standartinis nuokrypis 9 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 6x̄₁ = 29,5s₁ = 9,5n₂ = 8x̄₂ = 30s₂ = 995%t(12) = 2,179

viršutinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 120; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 5. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 120,86. Tikrinkite H₀: μ = 120 prieš H₁: μ ≠ 120. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 120σ = 5n = 100x̄ = 120,86H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 2 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 14. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 80%δ = 2σ = 14z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 20Σy = 159Σx² = 90Σy² = 5171Σxy = 669

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 61?

n = 6ŷ = 61

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,29

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 227/6 = 37,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 9,167² + 2,167² + (−7,833)² + 22,17² + (−7,833)² + (−17,83)² = 1021

Standartinis nuokrypis

s = √(1021/5) = 14,29

Atsakymas

s = 14,29

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,25

Standartizuokite

z = (65 − 50)/12 = 1,25

Atsakymas

z = 1,25

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3571

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Atsakymas

P = 0,3571

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 2 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 15 (p = 0,1), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,88)

Laukiamoji vertė

E(G) = 15·0,1 + 245·0,02 − 5·0,88 = 2 €

Atsakymas

E(G) = 2 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −2,09

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9817 = 0,0183

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0183 ir nuskaitykite z.

z = −2,09

Atsakymas

z = −2,09

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9452

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Atsakymas

P = 0,9452

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −19,36 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 121 = −14,5

Standartinė paklaida

SE = √(17²/40 + 11²/80) = 2,956

Paklaidos riba

E = 1,645·2,956 = 4,862

Intervalas

−14,5 ± 4,862 → [−19,36, −9,638]

Atsakymas

apatinis rėžis = −19,36 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 10,34 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (5·9,5² + 7·9²)/12 = 84,85

s_p = 9,212

Paklaidos riba

E = 2,179·9,212·√(1/6 + 1/8) = 10,84

Intervalas

−0,5 ± 10,84 → [−11,34, 10,34]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 10,34 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,08543

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5

z = (120,86 − 120)/0,5 = 1,72

Uodegos plotas

Φ(1,72) = 0,9573

1 − Φ(1,72) = 0,0427

p reikšmė

p = 2·0,0427 = 0,08543

Atsakymas

p = 0,08543

p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 304

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 0,842)·14/2)² = 303,1

Apvalinkite aukštyn

n = 304

Atsakymas

n = 304

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,974

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 669 − 20·159/5 = 33

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 5171 − 159²/5 = 114,8

Koreliacijos koeficientas

r = 33/√(10·114,8) = 0,974

Atsakymas

r = 0,974

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 6,122

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 362/6 = 60,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384

Regresijos tiesė

b = 384/70 = 5,486

a = 60,33 − 5,486·6 = 27,42

ŷ = 27,42 + 5,486·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (61 − 27,42)/5,486 = 6,122

Atsakymas

x = 6,122

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1