Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 21, 41, 48, 37, 43.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 110 z įvertį z.

μ = 100σ = 5x = 110

z =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 5 raudoni ir 4 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 4

P =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,5. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 9p = 0,5

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 12 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 142,6 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 142.6 kg

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 15 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.15%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −9,5, o standartinis nuokrypis 3,1. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 6d̄ = −9,5s_d = 3,199%t(5) = 4,032

E = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 32. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 32E = 199%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 113,4, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 113,4s = 12n = 16

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 20E = 295%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 19). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 19)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,3

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 190/5 = 38

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−17)² + 3² + 10² + (−1)² + 5² = 424

Standartinis nuokrypis

s = √(424/4) = 10,3

Atsakymas

s = 10,3

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 2

Standartizuokite

z = (110 − 100)/5 = 2

Atsakymas

z = 2

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2778

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

Atsakymas

P = 0,2778

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,01953

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Sudėkite

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Atsakymas

P = 0,01953

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,305

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 144 kg, σ_T = 0,8·√12 = 2,771 kg

Standartizuokite

z = (142,6 − 144)/2,771 = −0,51

Tikimybė

P = Φ(−0,51) = 0,305

Atsakymas

P = 0,305

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 115,6 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,85

z iš lentelės

z ≈ 1,04

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 1,04·15 = 115,6 tšk.

Atsakymas

x = 115,6 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 5,103 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 5, t = 4,032

Paklaidos riba

E = 4,032·3,1/√6 = 5,103

Atsakymas

E = 5,103 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 6796

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·32/1)² = 6795

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 6796

Atsakymas

n = 6796

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Testo statistika

t = (113,4 − 120)/3 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 385

Išreikškite n

n = (1,96·20/2)² = 384,2

Apvalinkite aukštyn

n = 385

Atsakymas

n = 385

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9695

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 73/5 = 14,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 141,2

Determinacijos koeficientas

r² = −37²/(10·141,2) = 0,9695

Atsakymas

r² = 0,9695

Apie 96,95% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,529

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 123/6 = 20,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35,5

Regresijos tiesė

b = −35,5/17,5 = −2,029

a = 20,5 − (−2,029)·3,5 = 27,6

ŷ = 27,6 − 2,029·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 27,6 + (−2,029)·2,5 = 22,53

Liekana

e = 19 − 22,53 = −3,529

Atsakymas

e = −3,529

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1