Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 10, 46, 55, 13, 31, 13, 15.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 64 z įvertį z.

μ = 70σ = 12x = 64

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,2, 0,35, 0,25

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,15, 0,25Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9871. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9871

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 elementų imties vidurkis – 19, standartinis nuokrypis s = 19. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 6x̄ = 19s = 1990%t(5) = 2,015

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 10,2 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.

n = 11s = 10,2 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 79,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 13 mm. 2 linija: 40 detalių imties vidurkis 75,4 mm, žinomas standartinis nuokrypis 10 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 80x̄₁ = 79,5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 40x̄₂ = 75,4 mmσ₂ = 10 mm

z =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 195%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,17

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 183/7 = 26,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−16,14)² + 19,86² + 28,86² + (−13,14)² + 4,857² + (−13,14)² + (−11,14)² = 1981

Standartinis nuokrypis

s = √(1981/6) = 18,17

Atsakymas

s = 18,17

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,5

Standartizuokite

z = (64 − 70)/12 = −0,5

Atsakymas

z = −0,5

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,127

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,65

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,85

Dispersija

Var(X) = 3,85 − 1,65² = 1,127

Atsakymas

Var(X) = 1,127

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 23,04

X sklaida

μ = 2,7, Var(X) = 5,31, σ_X = 2,304

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·2,304 = 23,04

Atsakymas

σ_Y = 23,04

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·2,7 + 10 = 37.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −2,23

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9871 = 0,0129

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0129 ir nuskaitykite z.

z = −2,23

Atsakymas

z = −2,23

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8133

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Atsakymas

P = 0,8133

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 3,37

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Paklaidos riba

E = 2,015·19/√6 = 15,63

Intervalas

19 ± 15,63 → [3,37, 34,63]

Atsakymas

apatinis rėžis = 3,37

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 17,9 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 10·10,2² = 1040

σ² rėžiai

1040/20,483 = 50,79

1040/3,247 = 320,4

σ rėžis

σ = √320,4 = 17,9 µm

Atsakymas

σ = 17,9 µm

σ 95 % intervalas: [7,127, 17,9] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,909

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(13²/80 + 10²/40) = √4,613 = 2,148

Testo statistika

z = (79,5 − 75,4)/2,148 = 1,909

Atsakymas

z = 1,909

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 246

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·8/1)² = 245,9

Apvalinkite aukštyn

n = 246

Atsakymas

n = 246

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9903

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 441/6 = 73,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1558

Koreliacijos koeficientas

r = 327/√(70·1558) = 0,9903

Atsakymas

r = 0,9903

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 67

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 491/6 = 81,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 519

Regresijos tiesė

b = 519/70 = 7,414

a = 81,83 − 7,414·6 = 37,35

ŷ = 37,35 + 7,414·x

Prognozė

ŷ = 37,35 + 7,414·4 = 67

Atsakymas

ŷ = 67

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1