Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 29, 13, 28, 13, 48, 28, 32.
n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 154 z įvertį z.
μ = 170σ = 20x = 154
z =
3.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 6 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 6
P =
4.TikimybėSunkus
Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?
n = 12p = 0,2k = 2
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 70,75 ir 115,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 115,75
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 146,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 148 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 50x̄₁ = 146,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 80x̄₂ = 148 hσ₂ = 15 h95%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 38. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 38E = 390%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 9 studentų, vidutinis rezultatas 56, standartinis nuokrypis 5. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 65,3, standartinis nuokrypis 6,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 9x̄₁ = 56s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 65,3s₂ = 6,5
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
36 matavimų imties vidurkis – 194,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 194,3σ = 20n = 3699%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 12
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 191/7 = 27,29
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 1,714² + (−14,29)² + 0,7143² + (−14,29)² + 20,71² + 0,7143² + 4,714² = 863,4
Standartinis nuokrypis
s = √(863,4/6) = 12
Atsakymas
s = 12
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −0,8
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (154 − 170)/20 = −0,8
Atsakymas
z = −0,8
3.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,6651
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Atsakymas
P = 0,6651
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2835
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 2) = 66·0,22·0,810 = 66·0,04·0,1074 = 0,2835
Atsakymas
P = 0,2835
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8276
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05
Plotas tarp
P = Φ(1,05) − Φ(−1,95) = 0,8531 − 0,02559 = 0,8276
Atsakymas
P = 0,8276
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 261,6 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Atgal į x
x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g
Atsakymas
x = 261,63 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −4,969 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 146,5 − 148 = −1,5
Standartinė paklaida
SE = √(4²/50 + 15²/80) = 1,77
Paklaidos riba
E = 1,96·1,77 = 3,469
Intervalas
−1,5 ± 3,469 → [−4,969, 1,969]
Atsakymas
apatinis rėžis = −4,969 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 435
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·38/3)² = 434,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 435
Atsakymas
n = 435
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,007
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (8·5² + 4·6,5²)/12 = 30,75
sp = 5,545
Standartinė paklaida
SE = 5,545·√(1/9 + 1/5) = 3,093
Testo statistika
t = (56 − 65,3)/3,093 = −3,007
Atsakymas
t = −3,007
Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 202,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·20/√36 = 8,587
Intervalo rėžis
U = 194,3 + 8,587 = 202,9
Atsakymas
U = 202,9
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9959
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 535/6 = 89,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 499
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3587
Koreliacijos koeficientas
r = 499/√(70·3587) = 0,9959
Atsakymas
r = 0,9959
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 54,35
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 286/5 = 57,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Regresijos tiesė
b = 57/10 = 5,7
a = 57,2 − 5,7·4 = 34,4
ŷ = 34,4 + 5,7·x
Prognozė
ŷ = 34,4 + 5,7·3,5 = 54,35
Atsakymas
ŷ = 54,35
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1