Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
1520253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 34, 12, 35, 31, 52.

n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 94?

μ = 70σ = 12x = 94
P =
3.TikimybėVidutinis
raudoni: 6mėlyni: 9

Maišelyje yra 6 raudoni ir 9 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

6 / 9
P =
4.TikimybėSunkus
€p(x)−50,7850,2450,02

Žaidimo kaina yra €5. Laimite €10 su tikimybe 0,2 ir €50 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €5€10: p = 0,2€50: p = 0,02
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
160 g157,6 gT = X₁ + … + X₄?

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 157,6 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4< 157.6 g
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
235240245250255260265gviršus 20%

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 20 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 25, s = 5L = ?Ux̄ = 46,5E95%

25 elementų imties vidurkis – 46,5, standartinis nuokrypis s = 5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 25x̄ = 46,5s = 595%t(24) = 2,064
apatinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
p ≈ 0,2, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0590%

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,2. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,05?

p ≈ 0,2E = 0,0590%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,0302,03

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 194,8, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 194,8s = 12n = 36
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 4E = 190%
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy136346554763966xy5405060

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy143243355457563xy245060x = 4,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4,5, 65). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 65)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,24

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 164/5 = 32,8

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 1,2² + (−20,8)² + 2,2² + (−1,8)² + 19,2² = 810,8

Standartinis nuokrypis

s = √(810,8/4) = 14,24

Atsakymas

s = 14,24
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1429

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Atsakymas

P = 0,1429
4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −2 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 5 (p = 0,2), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)

Laukiamoji vertė

E(G) = 5·0,2 + 45·0,02 − 5·0,78 = −2 €

Atsakymas

E(G) = −2 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1587

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μT = 160 g, σT = 1,2·√4 = 2,4 g

Standartizuokite

z = (157,6 − 160)/2,4 = −1

Tikimybė

P = Φ(−1) = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 254,2 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,8

z iš lentelės

z ≈ 0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Atsakymas

x = 254,2 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 44,44

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Paklaidos riba

E = 2,064·5/√25 = 2,064

Intervalas

46,5 ± 2,064 → [44,44, 48,56]

Atsakymas

apatinis rėžis = 44,44
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 174

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,2·0,8/0,05² = 173,2

Apvalinkite aukštyn

n = 174

Atsakymas

n = 174
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Testo statistika

t = (194,8 − 200)/2 = −2,6

Atsakymas

t = −2,6
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 44

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Apvalinkite aukštyn

n = 44

Atsakymas

n = 44
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9875

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 265/5 = 53

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Syy = Σ(y − ȳ)² = 608

Koreliacijos koeficientas

r = 154/√(40·608) = 0,9875

Atsakymas

r = 0,9875
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,7

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 261/5 = 52,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

Regresijos tiesė

b = 54/10 = 5,4
a = 52,2 − 5,4·3 = 36
ŷ = 36 + 5,4·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 36 + 5,4·4,5 = 60,3

Liekana

e = 65 − 60,3 = 4,7

Atsakymas

e = 4,7

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1