Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
20253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 32, 50, 53, 53, 19, 31, 52.

n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 48?

μ = 60σ = 15x = 48
P =
3.TikimybėVidutinis
xp(x)00,310,0520,1530,3540,15μ = 2

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,15, 0,35, 0,15
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
n = 5, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k012345

Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 5p = 0,4
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,9729

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9729. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9729
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 178x = ?80%

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 16, s = 10,5L = ?Ux̄ = 12,5E95%

16 elementų imties vidurkis – 12,5, standartinis nuokrypis s = 10,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 16x̄ = 12,5s = 10,595%t(15) = 2,131
apatinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 3, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 3. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 3E = 199%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,06402,064

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 205,8, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 205,8s = 12n = 25
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −2,57602,576

100 matavimų imties vidurkis – 199,7. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 199,7σ = 5n = 10099%
L =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy17651973218323882594xy2025708090

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy166818842091221012411326119xy202580100120ŷ = 76

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 76?

n = 6ŷ = 76
x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,87

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 290/7 = 41,43

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−9,429)² + 8,571² + 11,57² + 11,57² + (−22,43)² + (−10,43)² + 10,57² = 1154

Standartinis nuokrypis

s = √(1154/6) = 13,87

Atsakymas

s = 13,87
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,7881

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881
3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,2

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 1·0,05 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,05 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,15 = 6,2

Dispersija

Var(X) = 6,2 − 2² = 2,2

Atsakymas

Var(X) = 2,2
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,337

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,65 = 0,07776
P(X = 1) = 5·0,4·0,64 = 0,2592

Sudėkite

P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337

Atsakymas

P = 0,337
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,21

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9729)/2 = 0,9864

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9864 ir nuskaitykite z.

z = 2,21

Atsakymas

z = 2,21
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 183,9 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Atgal į x

x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm

Atsakymas

x = 183,89 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 6,906

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Paklaidos riba

E = 2,131·10,5/√16 = 5,594

Intervalas

12,5 ± 5,594 → [6,906, 18,09]

Atsakymas

apatinis rėžis = 6,906
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 60

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·3/1)² = 59,72

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 60

Atsakymas

n = 60
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,417

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Testo statistika

t = (205,8 − 200)/2,4 = 2,417

Atsakymas

t = 2,417
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 198,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·5/√100 = 1,288

Intervalo rėžis

L = 199,7 − 1,288 = 198,4

Atsakymas

L = 198,4
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9847

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 403/5 = 80,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Syy = Σ(y − ȳ)² = 541,2

Determinacijos koeficientas

r² = 146²/(40·541,2) = 0,9847

Atsakymas

r² = 0,9847

Apie 98,47% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 17,02

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 576/6 = 96

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 352

Regresijos tiesė

b = 352/70 = 5,029
a = 96 − 5,029·21 = −9,6
ŷ = −9,6 + 5,029·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (76 − (−9,6))/5,029 = 17,02

Atsakymas

x = 17,02

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1