Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 43, 50, 11, 52, 56, 14.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 116 z įvertį z.
μ = 100σ = 8x = 116
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,1, 0,1
σ =
4.TikimybėSunkus
Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 5p = 0,2
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 92,5 ir 112,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 112,75
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).
μ = 100σ = 15P = 25%
x = tšk.
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 113 h, žinomas standartinis nuokrypis 19 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 116 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 40x̄₁ = 113 hσ₁ = 19 hn₂ = 50x̄₂ = 116 hσ₂ = 15 h90%
viršutinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 40E = 299%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 48,56, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,56s = 8n = 100
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 135 iš 300 pacientų, gydytų A būdu, ir 30 iš 80 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 135n₁ = 300x₂ = 30n₂ = 80
z =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 26.
n = 6x = 26
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 19,97
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 226/6 = 37,67
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 5,333² + 12,33² + (−26,67)² + 14,33² + 18,33² + (−23,67)² = 1993
Standartinis nuokrypis
s = √(1993/5) = 19,97
Atsakymas
s = 19,97
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (116 − 100)/8 = 2
Atsakymas
z = 2
3.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,09
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,1 = 1,75
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,1 = 4,25
Dispersija
Var(X) = 4,25 − 1,75² = 1,188
σ = √1,188 = 1,09
Atsakymas
σ = 1,09
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,7373
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,85 = 0,3277
P(X = 1) = 5·0,2·0,84 = 0,4096
Sudėkite
P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373
Atsakymas
P = 0,7373
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4938
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (112,75 − 100)/15 = 0,85
Plotas tarp
P = Φ(0,85) − Φ(−0,5) = 0,8023 − 0,3085 = 0,4938
Atsakymas
P = 0,4938
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 89,88 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Atgal į x
x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 tšk.
Atsakymas
x = 89,88 tšk.
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 3,05 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 113 − 116 = −3
Standartinė paklaida
SE = √(19²/40 + 15²/50) = 3,678
Paklaidos riba
E = 1,645·3,678 = 6,05
Intervalas
−3 ± 6,05 → [−9,05, 3,05]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 3,05 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2655
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·40/2)² = 2654
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 2655
Atsakymas
n = 2655
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Testo statistika
t = (48,56 − 50)/0,8 = −1,8
Atsakymas
t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,203
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 135/300 = 0,45
p̂₂ = 30/80 = 0,375
p̂ = 165/380 = 0,4342
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,4342·0,5658·(1/300 + 1/80)) = 0,06237
Testo statistika
z = (0,45 − 0,375)/0,06237 = 1,203
Atsakymas
z = 1,203
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,6282
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 31,2
Determinacijos koeficientas
r² = −14²/(10·31,2) = 0,6282
Atsakymas
r² = 0,6282
Apie 62,82% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 141,6
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 730/6 = 121,7
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 348
Regresijos tiesė
b = 348/70 = 4,971
a = 121,7 − 4,971·22 = 12,3
ŷ = 12,3 + 4,971·x
Prognozė
ŷ = 12,3 + 4,971·26 = 141,6
Atsakymas
ŷ = 141,6
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1