Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 39, 14, 29, 40, 60.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 56 z įvertį z.

μ = 60σ = 5x = 56

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,5, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 12p = 0,5k = 5

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 32,3 ir 39,2 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 32,3x₂ = 39,2

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 1,3, o standartinis nuokrypis 2,6. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 6d̄ = 1,3s_d = 2,690%t(5) = 2,015

E = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,1. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?

p ≈ 0,1E = 0,0299%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 92,56, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 92,56s = 12n = 25

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 15. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 90%δ = 2,5σ = 15z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 25.

n = 6x = 25

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,83

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 182/5 = 36,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2,6² + (−22,4)² + (−7,4)² + 3,6² + 23,6² = 1133

Standartinis nuokrypis

s = √(1133/4) = 16,83

Atsakymas

s = 16,83

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,8

Standartizuokite

z = (56 − 60)/5 = −0,8

Atsakymas

z = −0,8

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,21

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,35 = 1,7

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,35 = 4,1

Dispersija

Var(X) = 4,1 − 1,7² = 1,21

Atsakymas

Var(X) = 1,21

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1934

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 792·0,5⁵·0,5⁷ = 792·0,03125·0,007813 = 0,1934

Atsakymas

P = 0,1934

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,365

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05

z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Plotas tarp

P = Φ(1,2) − Φ(0,05) = 0,8849 − 0,5199 = 0,365

Atsakymas

P = 0,365

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 241,8 g

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Atsakymas

x = 241,78 g

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 2,139 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 5, t = 2,015

Paklaidos riba

E = 2,015·2,6/√6 = 2,139

Atsakymas

E = 2,139 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1494

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,02² = 1493

Apvalinkite aukštyn

n = 1494

Atsakymas

n = 1494

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Testo statistika

t = (92,56 − 100)/2,4 = −3,1

Atsakymas

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 469

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,282)·15/2,5)² = 468,6

Apvalinkite aukštyn

n = 469

Atsakymas

n = 469

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9687

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 749/6 = 124,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2639

Determinacijos koeficientas

r² = 423²/(70·2639) = 0,9687

Atsakymas

r² = 0,9687

Apie 96,87% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 100,2

Vidurkiai

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 501/6 = 83,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 293

Regresijos tiesė

b = 293/70 = 4,186

a = 83,5 − 4,186·21 = −4,4

ŷ = −4,4 + 4,186·x

Prognozė

ŷ = −4,4 + 4,186·25 = 100,2

Atsakymas

ŷ = 100,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1