Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 57, 53, 35, 14, 43, 47, 29.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 26 z įvertį z.

μ = 50σ = 12x = 26

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,05, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X + 20. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X + 20

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 29,5 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29,5 min

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 100 telefonų, vidurkis 145,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 11 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 154 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 100x̄₁ = 145,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 30x̄₂ = 154 hσ₂ = 4 h90%

E = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?

p = 0,5E = 0,0295%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 99,6, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 99,6s = 4n = 81

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 84 iš 120 pacientų, gydytų A būdu, ir 101 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 101n₂ = 120

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 72?

n = 6ŷ = 72

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,93

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 278/7 = 39,71

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 17,29² + 13,29² + (−4,714)² + (−25,71)² + 3,286² + 7,286² + (−10,71)² = 1337

Standartinis nuokrypis

s = √(1337/6) = 14,93

Atsakymas

s = 14,93

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −2

Standartizuokite

z = (26 − 50)/12 = −2

Atsakymas

z = −2

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,64

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,35 = 1,4

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,35 = 3,6

Dispersija

Var(X) = 3,6 − 1,4² = 1,64

Atsakymas

Var(X) = 1,64

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 2,51

X sklaida

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Tiesinis pokytis

σ_Y = |3|·0,8367 = 2,51

Atsakymas

σ_Y = 2,51

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·1 + 20 = 23.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartizuokite

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 169 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Atsakymas

x = 169,03 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 2,172 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 145,5 − 154 = −8,5

Standartinė paklaida

SE = √(11²/100 + 4²/30) = 1,32

Paklaidos riba

E = 1,645·1,32 = 2,172

Atsakymas

E = 2,172 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 2401

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401

Apvalinkite aukštyn

n = 2401

Atsakymas

n = 2401

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Testo statistika

t = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Atsakymas

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −2,611

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 84/120 = 0,7

p̂₂ = 101/120 = 0,8417

p̂ = 185/240 = 0,7708

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,7708·0,2292·(1/120 + 1/120)) = 0,05426

Testo statistika

z = (0,7 − 0,8417)/0,05426 = −2,611

Atsakymas

z = −2,611

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9072

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 234/5 = 46,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 370,8

Determinacijos koeficientas

r² = 58²/(10·370,8) = 0,9072

Atsakymas

r² = 0,9072

Apie 90,72% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 10,07

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 391/6 = 65,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231

Regresijos tiesė

b = 231/70 = 3,3

a = 65,17 − 3,3·8 = 38,77

ŷ = 38,77 + 3,3·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (72 − 38,77)/3,3 = 10,07

Atsakymas

x = 10,07

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1