Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 12, 19, 17, 34, 33, 17.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 45?

μ = 60σ = 15x = 45

P =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 13 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 13k = 5

N =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 7p = 0,7

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9749. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9749

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 143 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 158 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 40x̄₁ = 143 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 158 hσ₂ = 16 h99%

E = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?

p = 0,5E = 0,02595%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 50; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 7,5. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 46,37. Tikrinkite H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 50σ = 7,5n = 25x̄ = 46,37H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80 atliekamas, kai α = 0.05, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 6. Iš tikrųjų vidurkis lygus 78.1. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 80μ = 78,1σ = 6n = 36α = 0,05

β = %

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 279Σx² = 220Σy² = 16237Σxy = 1834

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 9,209

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 132/6 = 22

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−3)² + (−5)² + 12² + 11² + (−5)² = 424

Standartinis nuokrypis

s = √(424/5) = 9,209

Atsakymas

s = 9,209

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 1287

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Atsakymas

N = 1287

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,003791

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,3⁷ = 0,0002187

P(X = 1) = 7·0,7·0,3⁶ = 0,003572

Sudėkite

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Atsakymas

P = 0,003791

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,24

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9749)/2 = 0,9875

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9875 ir nuskaitykite z.

z = 2,24

Atsakymas

z = 2,24

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9207

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Atsakymas

P = 0,9207

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 6,63 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 143 − 158 = −15

Standartinė paklaida

SE = √(3²/40 + 16²/40) = 2,574

Paklaidos riba

E = 2,576·2,574 = 6,63

Atsakymas

E = 6,63 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Apvalinkite aukštyn

n = 1537

Atsakymas

n = 1537

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,00776

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5

z = (46,37 − 50)/1,5 = −2,42

Uodegos plotas

Φ(2,42) = 0,9922

1 − Φ(2,42) = 0,0078

p reikšmė

p = 0,00776

Atsakymas

p = 0,00776

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 39,94 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 80 − 1,645·1 = 78,36

z esant tikrajam vidurkiui

z = (78,36 − 78,1)/1 = 0,255

II rūšies klaida

galia = P(Z < 0.255) = 60.06%

β = 100% − 60,06% = 39,94%

Atsakymas

β = 39,94%

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9782

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 1834 − 30·279/5 = 160

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 16237 − 279²/5 = 668,8

Koreliacijos koeficientas

r = 160/√(40·668,8) = 0,9782

Atsakymas

r = 0,9782

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 55,05

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 366/5 = 73,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

Regresijos tiesė

b = 242/40 = 6,05

a = 73,2 − 6,05·6 = 36,9

ŷ = 36,9 + 6,05·x

Prognozė

ŷ = 36,9 + 6,05·3 = 55,05

Atsakymas

ŷ = 55,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1