Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
101520253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 41, 51, 10, 39.

n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 112 z įvertį z.

μ = 100σ = 12x = 112
z =
3.TikimybėVidutinis
raudoni: 5mėlyni: 5

Maišelyje yra 5 raudoni ir 5 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 5
P =
4.TikimybėSunkus
n = 12, p = 0,7: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

Tikrinami 12 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 12p = 0,7
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,9070

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9070. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9070
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 250x = ?80%

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 58 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 71,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 30x̄₁ = 58 hσ₁ = 18 hn₂ = 50x̄₂ = 71,5 hσ₂ = 16 h90%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?

σ = 20E = 595%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,3652,365t = ?df = 7

8 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 1,91, o skirtumų standartinis nuokrypis 6. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 8d̄ = 1,91sd = 6
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1,5α = 0,05βσ = 4, galia 80%, n = ?

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 4. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 80%δ = 1,5σ = 4zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1467178820982311426139xy152025100

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 100Σy = 506Σx² = 2090Σy² = 54154Σxy = 10630
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy35757277499311102xy5106080100x = 4

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4, 59). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(4, 59)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,29

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 178/5 = 35,6

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 1,4² + 5,4² + 15,4² + (−25,6)² + 3,4² = 935,2

Standartinis nuokrypis

s = √(935,2/4) = 15,29

Atsakymas

s = 15,29
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (112 − 100)/12 = 1

Atsakymas

z = 1
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2222

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Atsakymas

P = 0,2222
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 1,541 × 10⁻⁵

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,312 = 5,314 × 10⁻⁷
P(X = 1) = 12·0,7·0,311 = 1,488 × 10⁻⁵

Sudėkite

P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵

Atsakymas

P = 1,541 × 10⁻⁵
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,68

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9070)/2 = 0,9535

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9535 ir nuskaitykite z.

z = 1,68

Atsakymas

z = 1,68
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 254,2 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Atgal į x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Atsakymas

x = 254,21 g
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −20,06 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 58 − 71,5 = −13,5

Standartinė paklaida

SE = √(18²/30 + 16²/50) = 3,99

Paklaidos riba

E = 1,645·3,99 = 6,564

Intervalas

−13,5 ± 6,564 → [−20,06, −6,936]

Atsakymas

apatinis rėžis = −20,06 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 62

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·20/5)² = 61,47

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 62

Atsakymas

n = 62
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,9004

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 6/√8 = 2,121

Testo statistika

t = 1,91/2,121 = 0,9004

Atsakymas

t = 0,9004

Kai df = 7, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,365; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 44

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 0,842)·4/1,5)² = 43,98

Apvalinkite aukštyn

n = 44

Atsakymas

n = 44
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9903

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 10630 − 100·506/5 = 510
Sxx = 2090 − 100²/5 = 90
Syy = 54154 − 506²/5 = 2947

Koreliacijos koeficientas

r = 510/√(90·2947) = 0,9903

Atsakymas

r = 0,9903
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,95

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 398/5 = 79,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222

Regresijos tiesė

b = 222/40 = 5,55
a = 79,6 − 5,55·7 = 40,75
ŷ = 40,75 + 5,55·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 40,75 + 5,55·4 = 62,95

Liekana

e = 59 − 62,95 = −3,95

Atsakymas

e = −3,95

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1