Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
2025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 17, 45, 26, 30, 55, 42, 22.

n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 45?

μ = 50σ = 5x = 45
P =
3.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2?3?4?5?6?7P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 7 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 7
P =
4.TikimybėSunkus
€p(x)−100,65200,3900,05

Žaidimo kaina yra €10. Laimite €30 su tikimybe 0,3 ir €100 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €10€30: p = 0,3€100: p = 0,05
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
442540P = ?

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 442 ir 540 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x1 = 442x2 = 540
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
557085100115130145tšk.apačia 75%

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 75 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.75%
x = tšk.
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 150 h, žinomas standartinis nuokrypis 6 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 162,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 80x̄₁ = 150 hσ₁ = 6 hn₂ = 40x̄₂ = 162,5 hσ₂ = 17 h95%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 18, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 18E = 195%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−1,961,96z = ?

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 100 detalių imties vidutinis ilgis 107,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 18 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 111 mm, žinomas standartinis nuokrypis 8 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 100x̄₁ = 107,5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 30x̄₂ = 111 mmσ₂ = 8 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 20E = 190%
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy3505677779941110113113xy5106080100120

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy2841261582010251232xy510102030ŷ = 23

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23
x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,78

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 237/7 = 33,86

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−16,86)² + 11,14² + (−7,857)² + (−3,857)² + 21,14² + 8,143² + (−11,86)² = 1139

Standartinis nuokrypis

s = √(1139/6) = 13,78

Atsakymas

s = 13,78
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7209

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Atsakymas

P = 0,7209
4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 4 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 20 (p = 0,3), 90 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

Laukiamoji vertė

E(G) = 20·0,3 + 90·0,05 − 10·0,65 = 4 €

Atsakymas

E(G) = 4 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7678

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45
z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Plotas tarp

P = Φ(1) − Φ(−1,45) = 0,8413 − 0,07353 = 0,7678

Atsakymas

P = 0,7678
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 110,1 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,75

z iš lentelės

z ≈ 0,67

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 0,67·15 = 110,1 tšk.

Atsakymas

x = 110,1 tšk.
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −17,93 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 150 − 162,5 = −12,5

Standartinė paklaida

SE = √(6²/80 + 17²/40) = 2,77

Paklaidos riba

E = 1,96·2,77 = 5,43

Intervalas

−12,5 ± 5,43 → [−17,93, −7,07]

Atsakymas

apatinis rėžis = −17,93 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1245

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·18/1)² = 1245

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1245

Atsakymas

n = 1245
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −1,51

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(18²/100 + 8²/30) = √5,373 = 2,318

Testo statistika

z = (107,5 − 111)/2,318 = −1,51

Atsakymas

z = −1,51

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1083

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·20/1)² = 1082

Apvalinkite aukštyn

n = 1083

Atsakymas

n = 1083
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9881

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 502/6 = 83,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 434
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2723

Determinacijos koeficientas

r² = 434²/(70·2723) = 0,9881

Atsakymas

r² = 0,9881

Apie 98,81% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 8,85

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 112/6 = 18,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Regresijos tiesė

b = 164/70 = 2,343
a = 18,67 − 2,343·7 = 2,267
ŷ = 2,267 + 2,343·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (23 − 2,267)/2,343 = 8,85

Atsakymas

x = 8,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1