Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 14, 13, 23, 57, 55, 55, 53.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 200?

μ = 170σ = 15x = 200

P =

3.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 3

P =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 8 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 8p = 0,6

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 30,5 ir 35,3 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 35,3

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 9,1, o standartinis nuokrypis 3,6. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 16d̄ = 9,1s_d = 3,699%t(15) = 2,947

apatinis rėžis = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 23. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?

σ = 23E = 399%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 204,7, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,7s = 20n = 81

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 55 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 49 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 49n₂ = 100

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 39?

n = 5ŷ = 39

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 20,77

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 270/7 = 38,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−24,57)² + (−25,57)² + (−15,57)² + 18,43² + 16,43² + 16,43² + 14,43² = 2588

Standartinis nuokrypis

s = √(2588/6) = 20,77

Atsakymas

s = 20,77

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4213

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Atsakymas

P = 0,4213

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,00852

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,4⁸ = 0,0006554

P(X = 1) = 8·0,6·0,4⁷ = 0,007864

Sudėkite

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Atsakymas

P = 0,00852

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,3075

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Plotas tarp

P = Φ(0,55) − Φ(−0,25) = 0,7088 − 0,4013 = 0,3075

Atsakymas

P = 0,3075

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 81,45 tšk.

Procentilio z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Atgal į x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 tšk.

Atsakymas

x = 81,45 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 6,448 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 15, t = 2,947

Paklaidos riba

E = 2,947·3,6/√16 = 2,652

Intervalas

9,1 ± 2,652 → [6,448, 11,75]

Atsakymas

apatinis rėžis = 6,448 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 391

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·23/3)² = 390

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 391

Atsakymas

n = 391

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,115

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Testo statistika

t = (204,7 − 200)/2,222 = 2,115

Atsakymas

t = 2,115

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 0,8492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 55/100 = 0,55

p̂₂ = 49/100 = 0,49

p̂ = 104/200 = 0,52

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,52·0,48·(1/100 + 1/100)) = 0,07065

Testo statistika

z = (0,55 − 0,49)/0,07065 = 0,8492

Atsakymas

z = 0,8492

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9477

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 402/5 = 80,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 390

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1783

Determinacijos koeficientas

r² = 390²/(90·1783) = 0,9477

Atsakymas

r² = 0,9477

Apie 94,77% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 18,99

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 250/5 = 50

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

Regresijos tiesė

b = 146/40 = 3,65

a = 50 − 3,65·22 = −30,3

ŷ = −30,3 + 3,65·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (39 − (−30,3))/3,65 = 18,99

Atsakymas

x = 18,99

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1