Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 12, 41, 30, 29, 16.
n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 80?
μ = 50σ = 20x = 80
P =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,05, 0,15, 0,3, 0,35Y = 10X + 1
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 24,8 ir 42,8 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 24,8x2 = 42,8
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 elementų imties vidurkis – 111, standartinis nuokrypis s = 4. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 6x̄ = 111s = 495%t(5) = 2,571
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
30 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 2,6 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 29, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 16,047, o 2,5 % – aukščiau 45,722.
n = 30s = 2,6 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 98,6, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,6s = 4n = 16
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 28. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 90%δ = 4σ = 28zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 36Σy = 437Σx² = 286Σy² = 32563Σxy = 2843
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4, 61). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(4, 61)
e =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,67
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 128/5 = 25,6
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−13,6)² + 15,4² + 4,4² + 3,4² + (−9,6)² = 545,2
Standartinis nuokrypis
s = √(545,2/4) = 11,67
Atsakymas
s = 11,67
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,06681
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 155
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,35 + 20·0,1 + 30·0,25 + 40·0,3 = 25
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,1 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 780
Dispersija
Var(X) = 780 − 25² = 155
Atsakymas
Var(X) = 155
4.Tikimybė
Atsakymas: σY = 13,88
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,65, Var(X) = 1,928, σX = 1,388
Tiesinis pokytis
σY = |10|·1,388 = 13,88
Atsakymas
σY = 13,88
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·3,65 + 1 = 37,5.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,849
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8
Plotas tarp
P = Φ(1,8) − Φ(−1,2) = 0,9641 − 0,1151 = 0,849
Atsakymas
P = 0,849
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7389
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartizuokite
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Atsakymas
P = 0,7389
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,198
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 5, t = 2,571
Paklaidos riba
E = 2,571·4/√6 = 4,198
Atsakymas
E = 4,198
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 2,071 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 29·2,6² = 196
σ² rėžiai
196/45,722 = 4,288
196/16,047 = 12,22
σ rėžis
σ = √4,288 = 2,071 µm
Atsakymas
σ = 2,071 µm
σ 95 % intervalas: [2,071, 3,495] µm.
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Testo statistika
t = (98,6 − 100)/1 = −1,4
Atsakymas
t = −1,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 638
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,282)·28/4)² = 637,9
Apvalinkite aukštyn
n = 638
Atsakymas
n = 638
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9744
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 2843 − 36·437/6 = 221
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 32563 − 437²/6 = 734,8
Koreliacijos koeficientas
r = 221/√(70·734,8) = 0,9744
Atsakymas
r = 0,9744
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 4,724
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 446/6 = 74,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 316
Regresijos tiesė
b = 316/70 = 4,514
a = 74,33 − 4,514·8 = 38,22
ŷ = 38,22 + 4,514·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 38,22 + 4,514·4 = 56,28
Liekana
e = 61 − 56,28 = 4,724
Atsakymas
e = 4,724
Taškas yra virš tiesės.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1