Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 27, 41, 19, 32, 42, 39, 24.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 85?

μ = 70σ = 12x = 85

P =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 15 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 15k = 2

N =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = −2X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,05, 0,35Y = −2X + 5

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 23,3 ir 41,3 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 23,3x₂ = 41,3

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 7,1. Kokia yra 90 % intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 100E₁ = 7,190%n₂ = 25

E₂ =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 24 sklypų, vidutinis derlius 51,5 kg, standartinis nuokrypis 3,5 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 55 kg, standartinis nuokrypis 1,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 24x̄₁ = 51,5s₁ = 3,5n₂ = 7x̄₂ = 55s₂ = 1,599%t(29) = 2,756

apatinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 115,3, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,3s = 20n = 36

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 60 iš 150 pacientų, gydytų A būdu, ir 41 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 41n₂ = 120

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 48Σy = 378Σx² = 454Σy² = 25344Σxy = 3350

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (23, 144). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(23, 144)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 9,018

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 224/7 = 32

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−5)² + 9² + (−13)² + 0² + 10² + 7² + (−8)² = 488

Standartinis nuokrypis

s = √(488/6) = 9,018

Atsakymas

s = 9,018

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8944

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Atsakymas

P = 0,8944

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 105

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Atsakymas

N = 105

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 5,122

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 2,8, Var(X) = 6,56, σ_X = 2,561

Tiesinis pokytis

σ_Y = |−2|·2,561 = 5,122

Atsakymas

σ_Y = 5,122

Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·2,8 + 5 = −0,6.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8659

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Plotas tarp

P = Φ(1,55) − Φ(−1,45) = 0,9394 − 0,07353 = 0,8659

Atsakymas

P = 0,8659

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 71,75 tšk.

Procentilio z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Atgal į x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 tšk.

Atsakymas

x = 71,75 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 9,068

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/25) = 1,277

Nauja paklaidos riba

E₂ = 7,1·1,277 = 9,068

Atsakymas

E₂ = 9,068

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −7,277 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (23·3,5² + 6·1,5²)/29 = 10,18

s_p = 3,191

Paklaidos riba

E = 2,756·3,191·√(1/24 + 1/7) = 3,777

Intervalas

−3,5 ± 3,777 → [−7,277, 0,2775]

Atsakymas

apatinis rėžis = −7,277 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,41

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Testo statistika

t = (115,3 − 120)/3,333 = −1,41

Atsakymas

t = −1,41

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 0,9843

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 60/150 = 0,4

p̂₂ = 41/120 = 0,3417

p̂ = 101/270 = 0,3741

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,3741·0,6259·(1/150 + 1/120)) = 0,05926

Testo statistika

z = (0,4 − 0,3417)/0,05926 = 0,9843

Atsakymas

z = 0,9843

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9961

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 3350 − 48·378/6 = 326

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 25344 − 378²/6 = 1530

Koreliacijos koeficientas

r = 326/√(70·1530) = 0,9961

Atsakymas

r = 0,9961

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 5

Vidurkiai

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 834/6 = 139

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 484

Regresijos tiesė

b = 484/70 = 6,914

a = 139 − 6,914·23 = −20,03

ŷ = −20,03 + 6,914·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −20,03 + 6,914·23 = 139

Liekana

e = 144 − 139 = 5

Atsakymas

e = 5

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1