Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 55, 37, 54, 13, 13, 58.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 182,5 z įvertį z.

μ = 170σ = 10x = 182,5
z =
3.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2?3?4?5?6?7P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 7 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 7
P =
4.TikimybėSunkus
€p(x)−30,6560,3570,05

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €9 su tikimybe 0,3 ir €60 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€9: p = 0,3€60: p = 0,05
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
468562P = ?

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 468 ir 562 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x1 = 468x2 = 562
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 178x = ?25%

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 7, s = 10,5LU = ?x̄ = 97E99%

7 elementų imties vidurkis – 97, standartinis nuokrypis s = 10,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 7x̄ = 97s = 10,599%t(6) = 3,707
viršutinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 39. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 39E = 290%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,99801,998

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 203, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203s = 20n = 64
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −1,64501,645

100 matavimų imties vidurkis – 48,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 48,5σ = 15n = 10090%
L =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1383495577639791182xy510406080

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy21041962383210431247xy5102040x = 7

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 24). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(7, 24)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 20,95

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 230/6 = 38,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 16,67² + (−1,333)² + 15,67² + (−25,33)² + (−25,33)² + 19,67² = 2195

Standartinis nuokrypis

s = √(2195/5) = 20,95

Atsakymas

s = 20,95
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,25

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (182,5 − 170)/10 = 1,25

Atsakymas

z = 1,25
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7209

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Atsakymas

P = 0,7209
4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 2,7 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 6 (p = 0,3), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,65)

Laukiamoji vertė

E(G) = 6·0,3 + 57·0,05 − 3·0,65 = 2,7 €

Atsakymas

E(G) = 2,7 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7276

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8
z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55

Plotas tarp

P = Φ(1,55) − Φ(−0,8) = 0,9394 − 0,2119 = 0,7276

Atsakymas

P = 0,7276
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 173,3 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Atsakymas

x = 173,28 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 111,7

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Paklaidos riba

E = 3,707·10,5/√7 = 14,71

Intervalas

97 ± 14,71 → [82,29, 111,7]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 111,7
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1029

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·39/2)² = 1029

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1029

Atsakymas

n = 1029
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Testo statistika

t = (203 − 200)/2,5 = 1,2

Atsakymas

t = 1,2
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 46,03

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·15/√100 = 2,468

Intervalo rėžis

L = 48,5 − 2,468 = 46,03

Atsakymas

L = 46,03
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9789

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 368/6 = 61,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 316
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1457

Determinacijos koeficientas

r² = 316²/(70·1457) = 0,9789

Atsakymas

r² = 0,9789

Apie 97,89% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −5

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 174/6 = 29

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 266

Regresijos tiesė

b = 266/70 = 3,8
a = 29 − 3,8·7 = 2,4
ŷ = 2,4 + 3,8·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 2,4 + 3,8·7 = 29

Liekana

e = 24 − 29 = −5

Atsakymas

e = −5

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1