Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 58, 60, 16, 49, 28, 52.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 30?

μ = 50σ = 10x = 30

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,2, 0,15, 0,3

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,5. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 9p = 0,5

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9249. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9249

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

13 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 1,8, o standartinis nuokrypis 3,8. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 13d̄ = 1,8s_d = 3,899%t(12) = 3,055

apatinis rėžis = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 22. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 22E = 195%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 78, standartinis nuokrypis 3,5. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 74,3, standartinis nuokrypis 2,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 7x̄₁ = 78s₁ = 3,5n₂ = 5x̄₂ = 74,3s₂ = 2,5

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

49 matavimų imties vidurkis – 198. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 198σ = 20n = 4995%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 126Σy = 538Σx² = 2716Σy² = 50142Σxy = 11656

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (6, 43). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(6, 43)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,25

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 305/7 = 43,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−1,571)² + 14,43² + 16,43² + (−27,57)² + 5,429² + (−15,57)² + 8,429² = 1584

Standartinis nuokrypis

s = √(1584/6) = 16,25

Atsakymas

s = 16,25

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,727

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,15 + 5·0,3 = 3,35

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,15 + 25·0,3 = 12,95

Dispersija

Var(X) = 12,95 − 3,35² = 1,727

Atsakymas

Var(X) = 1,727

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,01953

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Sudėkite

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Atsakymas

P = 0,01953

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,78

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9249)/2 = 0,9625

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9625 ir nuskaitykite z.

z = 1,78

Atsakymas

z = 1,78

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7389

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartizuokite

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Atsakymas

P = 0,7389

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −1,42 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 12, t = 3,055

Paklaidos riba

E = 3,055·3,8/√13 = 3,22

Intervalas

1,8 ± 3,22 → [−1,42, 5,02]

Atsakymas

apatinis rėžis = −1,42 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1860

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·22/1)² = 1859

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1860

Atsakymas

n = 1860

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,013

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (6·3,5² + 4·2,5²)/10 = 9,85

s_p = 3,138

Standartinė paklaida

SE = 3,138·√(1/7 + 1/5) = 1,838

Testo statistika

t = (78 − 74,3)/1,838 = 2,013

Atsakymas

t = 2,013

Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 192,4

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·20/√49 = 5,6

Intervalo rėžis

L = 198 − 5,6 = 192,4

Atsakymas

L = 192,4

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9813

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 11656 − 126·538/6 = 358

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 50142 − 538²/6 = 1901

Koreliacijos koeficientas

r = 358/√(70·1901) = 0,9813

Atsakymas

r = 0,9813

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 206/5 = 41,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Regresijos tiesė

b = 48/40 = 1,2

a = 41,2 − 1,2·7 = 32,8

ŷ = 32,8 + 1,2·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 32,8 + 1,2·6 = 40

Liekana

e = 43 − 40 = 3

Atsakymas

e = 3

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1