Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 60, 35, 53, 29, 18, 20.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 152 z įvertį z.

μ = 170σ = 12x = 152

z =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 6 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 6k = 2

N =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €9 su tikimybe 0,25 ir €60 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€9: p = 0,25€60: p = 0,02

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7699. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,7699

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 elementų imties vidurkis – 45, standartinis nuokrypis s = 2. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 25x̄ = 45s = 295%t(24) = 2,064

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 0,6 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.

n = 11s = 0,6 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 12 studentų, vidutinis rezultatas 90,5, standartinis nuokrypis 7. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 85,3, standartinis nuokrypis 2. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 12x̄₁ = 90,5s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 85,3s₂ = 2

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500 atliekamas, kai α = 0,10, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 20. Iš tikrųjų vidurkis lygus 505,2. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 500μ = 505,2σ = 20n = 100α = 0,10

1 − β = %

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 15Σy = 265Σx² = 55Σy² = 14407Σxy = 853

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,29

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 215/6 = 35,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 24,17² + (−0,8333)² + 17,17² + (−6,833)² + (−17,83)² + (−15,83)² = 1495

Standartinis nuokrypis

s = √(1495/5) = 17,29

Atsakymas

s = 17,29

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Standartizuokite

z = (152 − 170)/12 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 15

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Atsakymas

N = 15

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,45 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 6 (p = 0,25), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 6·0,25 + 57·0,02 − 3·0,73 = 0,45 €

Atsakymas

E(G) = 0,45 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,2

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,7699)/2 = 0,8849

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8849 ir nuskaitykite z.

z = 1,20

Atsakymas

z = 1,20

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9706

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Atsakymas

P = 0,9706

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 44,17

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Paklaidos riba

E = 2,064·2/√25 = 0,8256

Intervalas

45 ± 0,8256 → [44,17, 45,83]

Atsakymas

apatinis rėžis = 44,17

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 1,053 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 10·0,6² = 3,6

σ² rėžiai

3,6/20,483 = 0,1758

3,6/3,247 = 1,109

σ rėžis

σ = √1,109 = 1,053 µm

Atsakymas

σ = 1,053 µm

σ 95 % intervalas: [0,4192, 1,053] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,606

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (11·7² + 4·2²)/15 = 37

s_p = 6,083

Standartinė paklaida

SE = 6,083·√(1/12 + 1/5) = 3,238

Testo statistika

t = (90,5 − 85,3)/3,238 = 1,606

Atsakymas

t = 1,606

Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 90,62 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 500 + 1,282·2 = 502,6

z esant tikrajam vidurkiui

z = (502,6 − 505,2)/2 = −1,318

Galia

galia = P(Z > −1,318) = 90,62%

1 − β = 90,62%

Atsakymas

1 − β = 90,62%

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,964

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 853 − 15·265/5 = 58

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 14407 − 265²/5 = 362

Koreliacijos koeficientas

r = 58/√(10·362) = 0,964

Atsakymas

r = 0,964

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 17,67

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 106/6 = 17,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42

Regresijos tiesė

b = −42/17,5 = −2,4

a = 17,67 − (−2,4)·3,5 = 26,07

ŷ = 26,07 − 2,4·x

Prognozė

ŷ = 26,07 + (−2,4)·3,5 = 17,67

Atsakymas

ŷ = 17,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1