Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 45, 23, 40, 52, 41, 51.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 118,8 z įvertį z.
μ = 100σ = 15x = 118,8
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,15, 0,1, 0,35, 0,35
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €10. Laimite €20 su tikimybe 0,3 ir €500 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €10€20: p = 0,3€500: p = 0,01
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,2743. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,2743
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 2,7, o standartinis nuokrypis 7,1. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 15d̄ = 2,7sd = 7,199%t(14) = 2,977
E = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,6. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?
p ≈ 0,6E = 0,0390%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 60 detalių imties vidutinis ilgis 58 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 10 mm. 2 linija: 60 detalių imties vidurkis 53,8 mm, žinomas standartinis nuokrypis 14 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
n₁ = 60x̄₁ = 58 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 60x̄₂ = 53,8 mmσ₂ = 14 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
100 matavimų imties vidurkis – 99,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 99,5σ = 8n = 10095%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,55
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 252/6 = 42
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 3² + (−19)² + (−2)² + 10² + (−1)² + 9² = 556
Standartinis nuokrypis
s = √(556/5) = 10,55
Atsakymas
s = 10,55
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 1,25
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (118,8 − 100)/15 = 1,25
Atsakymas
z = 1,25
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,46
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,05 + 2·0,15 + 3·0,1 + 4·0,35 + 5·0,35 = 3,8
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,15 + 9·0,1 + 16·0,35 + 25·0,35 = 15,9
Dispersija
Var(X) = 15,9 − 3,8² = 1,46
Atsakymas
Var(X) = 1,46
4.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 1 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 10 (p = 0,3), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,69)
Laukiamoji vertė
E(G) = 10·0,3 + 490·0,01 − 10·0,69 = 1 €
Atsakymas
E(G) = 1 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,6
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,2743 = 0,7257
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,7257 ir nuskaitykite z.
z = 0,60
Atsakymas
z = 0,60
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 256,4 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Atgal į x
x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g
Atsakymas
x = 256,41 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 5,457 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 14, t = 2,977
Paklaidos riba
E = 2,977·7,1/√15 = 5,457
Atsakymas
E = 5,457 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 722
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,6·0,4/0,03² = 721,6
Apvalinkite aukštyn
n = 722
Atsakymas
n = 722
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,891
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Skirtumo standartinė paklaida
SE = √(10²/60 + 14²/60) = √4,933 = 2,221
Testo statistika
z = (58 − 53,8)/2,221 = 1,891
Atsakymas
z = 1,891
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 101,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·8/√100 = 1,568
Intervalo rėžis
U = 99,5 + 1,568 = 101,1
Atsakymas
U = 101,1
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9655
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 84/5 = 16,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Syy = Σ(y − ȳ)² = 228,8
Determinacijos koeficientas
r² = 94²/(40·228,8) = 0,9655
Atsakymas
r² = 0,9655
Apie 96,55% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 15,5
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 93/6 = 15,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58,5
Regresijos tiesė
b = −58,5/17,5 = −3,343
a = 15,5 − (−3,343)·3,5 = 27,2
ŷ = 27,2 − 3,343·x
Prognozė
ŷ = 27,2 + (−3,343)·3,5 = 15,5
Atsakymas
ŷ = 15,5
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1