Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 28, 33, 31, 34, 30.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 32 z įvertį z.

μ = 50σ = 12x = 32

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35

σ =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 5p = 0,2

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,2327. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,2327

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 10 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.10%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 2,3. Kokia yra 99 % intervalo, pagrįsto 576 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

90%n₁ = 64E₁ = 2,399%n₂ = 576

E₂ =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.

n = 11s = 8 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 72,56, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,56s = 10n = 81

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 299%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 21?

n = 5ŷ = 21

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 2,387

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 156/5 = 31,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−3,2)² + 1,8² + (−0,2)² + 2,8² + (−1,2)² = 22,8

Standartinis nuokrypis

s = √(22,8/4) = 2,387

Atsakymas

s = 2,387

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,5

Standartizuokite

z = (32 − 50)/12 = −1,5

Atsakymas

z = −1,5

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 11,08

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,2 + 20·0,1 + 30·0,35 + 40·0,35 = 28,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,1 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 935

Dispersija

Var(X) = 935 − 28,5² = 122,8

σ = √122,8 = 11,08

Atsakymas

σ = 11,08

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,7373

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,8⁵ = 0,3277

P(X = 1) = 5·0,2·0,8⁴ = 0,4096

Sudėkite

P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373

Atsakymas

P = 0,7373

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 0,73

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,2327 = 0,7673

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,7673 ir nuskaitykite z.

z = 0,73

Atsakymas

z = 0,73

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 119,2 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 tšk.

Atsakymas

x = 119,2 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 1,201

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/576) = 0,522

Nauja paklaidos riba

E₂ = 2,3·0,522 = 1,201

Atsakymas

E₂ = 1,201

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 14,04 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 10·8² = 640

σ² rėžiai

640/20,483 = 31,25

640/3,247 = 197,1

σ rėžis

σ = √197,1 = 14,04 µm

Atsakymas

σ = 14,04 µm

σ 95 % intervalas: [5,59, 14,04] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,196

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Testo statistika

t = (72,56 − 75)/1,111 = −2,196

Atsakymas

t = −2,196

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 107

Išreikškite n

n = (2,576·8/2)² = 106,2

Apvalinkite aukštyn

n = 107

Atsakymas

n = 107

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9947

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 168/6 = 28

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1126

Determinacijos koeficientas

r² = 280²/(70·1126) = 0,9947

Atsakymas

r² = 0,9947

Apie 99,47% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 2,333

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 95/5 = 19

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Regresijos tiesė

b = −30/10 = −3

a = 19 − (−3)·3 = 28

ŷ = 28 − 3·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (21 − 28)/(−3) = 2,333

Atsakymas

x = 2,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1