Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
15202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 54, 60, 27, 11, 43, 37, 59.

n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 67,2 z įvertį z.

μ = 60σ = 12x = 67,2
z =
3.TikimybėVidutinis
n = 7k = 5N = ?

Keliais būdais N iš 7 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 7k = 5
N =
4.TikimybėSunkus
xp(x)100,3200,25300,15400,3μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3Y = 10X + 4
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,9890

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9890. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9890
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 178x = ?90%

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 88,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 11 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 74,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 40x̄₁ = 88,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 80x̄₂ = 74,5 hσ₂ = 18 h99%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 29. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 29E = 0,590%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,9901,99

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 498,1, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,1s = 12n = 81
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 1,599%
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy128226326420523xy242025

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy23945466387910891296xy510406080100x = 7

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 66). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(7, 66)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,11

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 291/7 = 41,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 12,43² + 18,43² + (−14,57)² + (−30,57)² + 1,429² + (−4,571)² + 17,43² = 1968

Standartinis nuokrypis

s = √(1968/6) = 18,11

Atsakymas

s = 18,11
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,6

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (67,2 − 60)/12 = 0,6

Atsakymas

z = 0,6
3.Tikimybė

Atsakymas: N = 21

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

Atsakymas

N = 21
4.Tikimybė

Atsakymas: σY = 120,3

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 24,5, Var(X) = 144,8, σX = 12,03

Tiesinis pokytis

σY = |10|·12,03 = 120,3

Atsakymas

σY = 120,3

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·24,5 + 4 = 249.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −2,29

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9890 = 0,0110

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0110 ir nuskaitykite z.

z = −2,29

Atsakymas

z = −2,29
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 187 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Atgal į x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Atsakymas

x = 186,97 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 7,148 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 88,5 − 74,5 = 14

Standartinė paklaida

SE = √(11²/40 + 18²/80) = 2,66

Paklaidos riba

E = 2,576·2,66 = 6,852

Intervalas

14 ± 6,852 → [7,148, 20,85]

Atsakymas

apatinis rėžis = 7,148 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 9104

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·29/0,5)² = 9103

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 9104

Atsakymas

n = 9104
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,425

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Testo statistika

t = (498,1 − 500)/1,333 = −1,425

Atsakymas

t = −1,425
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 189

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (2,576·8/1,5)² = 188,8

Apvalinkite aukštyn

n = 189

Atsakymas

n = 189
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,6531

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 39,2

Determinacijos koeficientas

r² = −16²/(10·39,2) = 0,6531

Atsakymas

r² = 0,6531

Apie 65,31% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 420/6 = 70

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 406

Regresijos tiesė

b = 406/70 = 5,8
a = 70 − 5,8·7 = 29,4
ŷ = 29,4 + 5,8·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 29,4 + 5,8·7 = 70

Liekana

e = 66 − 70 = −4

Atsakymas

e = −4

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1