Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 18, 16, 23, 16, 60, 60.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 84 z įvertį z.

μ = 100σ = 20x = 84

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €1. Laimite €4 su tikimybe 0,15 ir €10 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €1€4: p = 0,15€10: p = 0,05

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 35,1 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,1 min

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 elementų imties vidurkis – 34,5, standartinis nuokrypis s = 5,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 12x̄ = 34,5s = 5,599%t(11) = 3,106

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 17 sklypų, vidutinis derlius 50,5 kg, standartinis nuokrypis 2,5 kg. 2 sklypų grupė: 5 sklypų, vidurkis 49 kg, standartinis nuokrypis 3 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 17x̄₁ = 50,5s₁ = 2,5n₂ = 5x̄₂ = 49s₂ = 399%t(20) = 2,845

E = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 499, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499s = 8n = 49

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

49 matavimų imties vidurkis – 201,7. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 201,7σ = 12n = 4990%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 21,71

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 193/6 = 32,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−14,17)² + (−16,17)² + (−9,167)² + (−16,17)² + 27,83² + 27,83² = 2357

Standartinis nuokrypis

s = √(2357/5) = 21,71

Atsakymas

s = 21,71

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,8

Standartizuokite

z = (84 − 100)/20 = −0,8

Atsakymas

z = −0,8

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 0,7

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Dispersija

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Atsakymas

Var(X) = 0,7

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,1 €

Grynosios baigtys

G: 3 (p = 0,15), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)

Laukiamoji vertė

E(G) = 3·0,15 + 9·0,05 − 1·0,8 = 0,1 €

Atsakymas

E(G) = 0,1 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1075

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartizuokite

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Atsakymas

P = 0,1075

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9452

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Atsakymas

P = 0,9452

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 39,43

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Paklaidos riba

E = 3,106·5,5/√12 = 4,931

Intervalas

34,5 ± 4,931 → [29,57, 39,43]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 39,43

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,774 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (16·2,5² + 4·3²)/20 = 6,8

s_p = 2,608

Paklaidos riba

E = 2,845·2,608·√(1/17 + 1/5) = 3,774

Atsakymas

E = 3,774 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,875

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Testo statistika

t = (499 − 500)/1,143 = −0,875

Atsakymas

t = −0,875

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 198,9

Paklaidos riba

E = 1,645·12/√49 = 2,82

Intervalo rėžis

L = 201,7 − 2,82 = 198,9

Atsakymas

L = 198,9

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9957

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 274/6 = 45,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 477,3

Koreliacijos koeficientas

r = 91/√(17,5·477,3) = 0,9957

Atsakymas

r = 0,9957

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 52,75

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 230/5 = 46

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

Regresijos tiesė

b = 45/10 = 4,5

a = 46 − 4,5·3 = 32,5

ŷ = 32,5 + 4,5·x

Prognozė

ŷ = 32,5 + 4,5·4,5 = 52,75

Atsakymas

ŷ = 52,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1