Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
152025303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 46, 23, 11, 15, 56, 38.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 88 z įvertį z.

μ = 100σ = 10x = 88
z =
3.TikimybėVidutinis
xp(x)100,3200,35300,2400,15μ = 22

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15
σ =
4.TikimybėSunkus
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 12p = 0,3k = 5
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
167,5192P = ?

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 167,5 ir 192 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x1 = 167,5x2 = 192
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
μ = 32x = ?20%

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 131 h, žinomas standartinis nuokrypis 8 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 141 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 60x̄₁ = 131 hσ₁ = 8 hn₂ = 30x̄₂ = 141 hσ₂ = 17 h90%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(12) = 3,0550LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 81 kg, standartinis nuokrypis 7 kg. 2 sklypų grupė: 9 sklypų, vidurkis 72,5 kg, standartinis nuokrypis 3,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 5x̄₁ = 81s₁ = 7n₂ = 9x̄₂ = 72,5s₂ = 3,599%t(12) = 3,055
viršutinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,5712,571t = ?df = 5

6 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 7,84, o skirtumų standartinis nuokrypis 4,8. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 6d̄ = 7,84sd = 4,8
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 10E = 295%
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy18502164246627803089xy2025306080

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 120Σy = 349Σx² = 2970Σy² = 25273Σxy = 8658
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy138249345456560667xy24640506070x = 3,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 55). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 55)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,99

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 189/6 = 31,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 14,5² + (−8,5)² + (−20,5)² + (−16,5)² + 24,5² + 6,5² = 1618

Standartinis nuokrypis

s = √(1618/5) = 17,99

Atsakymas

s = 17,99
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (88 − 100)/10 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2
3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 10,3

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,15 = 22

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,15 = 590

Dispersija

Var(X) = 590 − 22² = 106
σ = √106 = 10,3

Atsakymas

σ = 10,3
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1585

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Atsakymas

P = 0,1585
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9104

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5
z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Plotas tarp

P = Φ(2) − Φ(−1,5) = 0,9772 − 0,06681 = 0,9104

Atsakymas

P = 0,9104
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 26,95 min

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Atsakymas

x = 26,95 min
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −15,38 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 131 − 141 = −10

Standartinė paklaida

SE = √(8²/60 + 17²/30) = 3,271

Paklaidos riba

E = 1,645·3,271 = 5,381

Intervalas

−10 ± 5,381 → [−15,38, −4,619]

Atsakymas

apatinis rėžis = −15,38 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 16,93 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (4·7² + 8·3,5²)/12 = 24,5
sp = 4,95

Paklaidos riba

E = 3,055·4,95·√(1/5 + 1/9) = 8,434

Intervalas

8,5 ± 8,434 → [0,06564, 16,93]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 16,93 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 4,001

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 4,8/√6 = 1,96

Testo statistika

t = 7,84/1,96 = 4,001

Atsakymas

t = 4,001

Kai df = 5, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,571; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 97

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·10/2)² = 96,04

Apvalinkite aukštyn

n = 97

Atsakymas

n = 97
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9839

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 8658 − 120·349/5 = 282
Sxx = 2970 − 120²/5 = 90
Syy = 25273 − 349²/5 = 912,8

Koreliacijos koeficientas

r = 282/√(90·912,8) = 0,9839

Atsakymas

r = 0,9839
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 2,5

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 315/6 = 52,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94,5

Regresijos tiesė

b = 94,5/17,5 = 5,4
a = 52,5 − 5,4·3,5 = 33,6
ŷ = 33,6 + 5,4·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 33,6 + 5,4·3,5 = 52,5

Liekana

e = 55 − 52,5 = 2,5

Atsakymas

e = 2,5

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1