Statistika 2: statistinės išvados: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Normalusis skirstinysVidutinis
92,5103P = ?

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 92,5 ir 103 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 103
P =
2.Normalusis skirstinysSunkus
0,02 mm0D − d?

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
3.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 11, s = 13,5LUx̄ = 24,5E = ?99%

11 elementų imties vidurkis – 24,5, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 11x̄ = 24,5s = 13,599%t(10) = 3,169
E =
4.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 13, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,599%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 13. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 13E = 2,599%
n =
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,9901,99

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 46,56, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,56s = 10n = 81
t =
6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 35 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 25 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 35n₁ = 100x₂ = 25n₂ = 120
z =
7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy14401746205723712686xy152025406080

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5
r² =
8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy12322231941651568xy246101520x = 4,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.

n = 6x = 4,5
ŷ =
9.Chi kvadrato testaiVidutinis
žemasvidutinisaukštasIš visomiesto2249980kaimo6144060Iš viso286349140

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 3
χ² =
10.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 4 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

2 × 4
df =

3Tirpalai

1.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,2707

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Plotas tarp

P = Φ(0,2) − Φ(−0,5) = 0,5793 − 0,3085 = 0,2707

Atsakymas

P = 0,2707
2.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7611

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Atsakymas

P = 0,7611
3.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 12,9

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Paklaidos riba

E = 3,169·13,5/√11 = 12,9

Atsakymas

E = 12,9
4.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 180

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·13/2,5)² = 179,4

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 180

Atsakymas

n = 180
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,096

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Testo statistika

t = (46,56 − 50)/1,111 = −3,096

Atsakymas

t = −3,096
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 2,349

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 35/100 = 0,35
p̂₂ = 25/120 = 0,2083
p̂ = 60/220 = 0,2727

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,2727·0,7273·(1/100 + 1/120)) = 0,0603

Testo statistika

z = (0,35 − 0,2083)/0,0603 = 2,349

Atsakymas

z = 2,349

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9764

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 300/5 = 60

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1402

Determinacijos koeficientas

r² = 351²/(90·1402) = 0,9764

Atsakymas

r² = 0,9764

Apie 97,64% y kitimo paaiškinama tiese.

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 14,34

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49,5

Regresijos tiesė

b = −49,5/17,5 = −2,829
a = 17,17 − (−2,829)·3,5 = 27,07
ŷ = 27,07 − 2,829·x

Prognozė

ŷ = 27,07 + (−2,829)·4,5 = 14,34

Atsakymas

ŷ = 14,34
9.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 46,29

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 80·28/140 = 16, 80·63/140 = 36, 80·49/140 = 28
kaimo: 60·28/140 = 12, 60·63/140 = 27, 60·49/140 = 21

Chi kvadrato statistika

χ² = (22 − 16)²/16 + (49 − 36)²/36 + (9 − 28)²/28 + (6 − 12)²/12 + (14 − 27)²/27 + (40 − 21)²/21
χ² = 46,29

Atsakymas

χ² = 46,29

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

10.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference