Statistika 2: statistinės išvados: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Normalusis skirstinysVidutinis
45,567,5P = ?

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 45,5 ir 67,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x1 = 45,5x2 = 67,5
P =
2.Normalusis skirstinysSunkus
4 s0X − Y?

Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
3.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
x̄E₁ = 11,799%, n = 25x̄E₂ = ?99%, n = 100

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 11,7. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 100 stebėjimų?

99%n₁ = 25E₁ = 11,7n₂ = 100
E₂ =
4.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 40E = 1,595%
n =
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,13102,131

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 57,88, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 57,88s = 15n = 16
t =
6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −2,57602,576

81 matavimų imties vidurkis – 76,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 76,6σ = 20n = 8199%
L =
7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy127227325420517xy242025

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 15Σy = 116Σx² = 55Σy² = 2772Σxy = 321
r =
8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy130227325420522616xy24615202530x = 2,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 29). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 29)
e =
9.Chi kvadrato testaiVidutinis
pagerėjonepagerėjoIš visonaujas vaistas701080placebas6060120Iš viso13070200

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 2002 × 2
χ² =
10.Chi kvadrato testaiSunkus
išlaikėneišlaikėIš visolinija 1451560linija 2384280linija 357360Iš viso14060200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =

3Tirpalai

1.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5731

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95
z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25

Plotas tarp

P = Φ(0,25) − Φ(−1,95) = 0,5987 − 0,02559 = 0,5731

Atsakymas

P = 0,5731
2.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7881

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartizuokite

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881
3.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 5,85

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/100) = 0,5

Nauja paklaidos riba

E₂ = 11,7·0,5 = 5,85

Atsakymas

E₂ = 5,85
4.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 2732

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·40/1,5)² = 2732

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 2732

Atsakymas

n = 2732
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,101

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Testo statistika

t = (57,88 − 50)/3,75 = 2,101

Atsakymas

t = 2,101
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 70,88

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·20/√81 = 5,724

Intervalo rėžis

L = 76,6 − 5,724 = 70,88

Atsakymas

L = 70,88
7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9499

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 321 − 15·116/5 = −27
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2772 − 116²/5 = 80,8

Koreliacijos koeficientas

r = −27/√(10·80,8) = −0,9499

Atsakymas

r = −0,9499
8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3,095

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 140/6 = 23,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45

Regresijos tiesė

b = −45/17,5 = −2,571
a = 23,33 − (−2,571)·3,5 = 32,33
ŷ = 32,33 − 2,571·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 32,33 + (−2,571)·2,5 = 25,9

Liekana

e = 29 − 25,9 = 3,095

Atsakymas

e = 3,095

Taškas yra virš tiesės.

9.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 29,67

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 80·130/200 = 52, 80·70/200 = 28
placebas: 120·130/200 = 78, 120·70/200 = 42

Chi kvadrato statistika

χ² = (70 − 52)²/52 + (10 − 28)²/28 + (60 − 78)²/78 + (60 − 42)²/42
χ² = 29,67

Atsakymas

χ² = 29,67

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

10.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 37,86

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

linija 1: 42, 18
linija 2: 56, 24
linija 3: 42, 18

Chi kvadrato statistika

χ² = (45 − 42)²/42 + (15 − 18)²/18 + (38 − 56)²/56 + (42 − 24)²/24 + (57 − 42)²/42 + (3 − 18)²/18
χ² = 37,86

Sprendimas

df = 2, χ²crit = 5,991
37,86 > 5,991

Atsakymas

χ² = 37,86

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference