Statistika 2: statistinės išvados: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Normalusis skirstinysVidutinis
105 s110,1 sX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 110,1 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110,1 s
P =
2.Normalusis skirstinysSunkus
10 g0X − Y?

Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
3.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 13, s = 16LUx̄ = 27E = ?99%

13 elementų imties vidurkis – 27, standartinis nuokrypis s = 16. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 13x̄ = 27s = 1699%t(12) = 3,055
E =
4.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 26. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?

σ = 26E = 390%
n =
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,01102,011

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 202,9, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,9s = 12n = 49
t =
6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 98 iš 150 pacientų, gydytų A būdu, ir 85 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 85n₂ = 120
z =
7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy3445557549591170xy510506070

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 35Σy = 282Σx² = 285Σy² = 16258Σxy = 2086
r =
8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy257356460567677xy2466070x = 3,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 57). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 57)
e =
9.Chi kvadrato testaiVidutinis
pagerėjonepagerėjoIš visonaujas vaistas473380placebas493180Iš viso9664160

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 2
χ² =
10.Chi kvadrato testaiSunkus
išlaikėneišlaikėIš visolinija 1132740linija 26139100linija 3263460Iš viso100100200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =

3Tirpalai

1.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,2119

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119
2.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartizuokite

z = (0 − 10)/10 = −1

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413
3.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 13,56

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Paklaidos riba

E = 3,055·16/√13 = 13,56

Atsakymas

E = 13,56
4.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 204

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·26/3)² = 203,3

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 204

Atsakymas

n = 204
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,692

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Testo statistika

t = (202,9 − 200)/1,714 = 1,692

Atsakymas

t = 1,692
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −0,9609

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 98/150 = 0,6533
p̂₂ = 85/120 = 0,7083
p̂ = 183/270 = 0,6778

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,6778·0,3222·(1/150 + 1/120)) = 0,05724

Testo statistika

z = (0,6533 − 0,7083)/0,05724 = −0,9609

Atsakymas

z = −0,9609

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9423

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 2086 − 35·282/5 = 112
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 16258 − 282²/5 = 353,2

Koreliacijos koeficientas

r = 112/√(40·353,2) = 0,9423

Atsakymas

r = 0,9423
8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,85

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 317/5 = 63,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Regresijos tiesė

b = 51/10 = 5,1
a = 63,4 − 5,1·4 = 43
ŷ = 43 + 5,1·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 43 + 5,1·3,5 = 60,85

Liekana

e = 57 − 60,85 = −3,85

Atsakymas

e = −3,85

Taškas yra po tiese.

9.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,1042

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

naujas vaistas: 80·96/160 = 48, 80·64/160 = 32
placebas: 80·96/160 = 48, 80·64/160 = 32

Chi kvadrato statistika

χ² = (47 − 48)²/48 + (33 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48 + (31 − 32)²/32
χ² = 0,1042

Atsakymas

χ² = 0,1042

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

10.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 10,81

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

linija 1: 20, 20
linija 2: 50, 50
linija 3: 30, 30

Chi kvadrato statistika

χ² = (13 − 20)²/20 + (27 − 20)²/20 + (61 − 50)²/50 + (39 − 50)²/50 + (26 − 30)²/30 + (34 − 30)²/30
χ² = 10,81

Sprendimas

df = 2, χ²crit = 5,991
10,81 > 5,991

Atsakymas

χ² = 10,81

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference