Statistika 2: statistinės išvados: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Normalusis skirstinysVidutinis
105 s110,1 sX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 110,1 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110,1 s
P =
2.Normalusis skirstinysSunkus
35455565758595tšk.viršus 10%

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 10 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.10%
x = tšk.
3.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 10, s = 13L = ?Ux̄ = 95E99%

10 elementų imties vidurkis – 95, standartinis nuokrypis s = 13. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 10x̄ = 95s = 1399%t(9) = 3,25
apatinis rėžis =
4.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 21. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 21E = 1,595%
n =
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −1,9901,99

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 46, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46s = 20n = 81
t =
6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
−1,961,96z = ?

Klinikiniame tyrime pasveiksta 20 iš 80 pacientų, gydytų A būdu, ir 21 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 21n₂ = 100
z =
7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy133340552756966xy54060

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5
r =
8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy123221318419515612xy2461520x = 4,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4,5, 20). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 20)
e =
9.Chi kvadrato testaiVidutinis
žemasvidutinisaukštasIš visomiesto13212660kaimo22283080Iš viso354956140

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1402 × 3
χ² =
10.Chi kvadrato testaiSunkus
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 3 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Tirpalai

1.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,2119

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119
2.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 77,8 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 tšk.

Atsakymas

x = 77,8 tšk.
3.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 81,64

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Paklaidos riba

E = 3,25·13/√10 = 13,36

Intervalas

95 ± 13,36 → [81,64, 108,4]

Atsakymas

apatinis rėžis = 81,64
4.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 753

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·21/1,5)² = 753

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 753

Atsakymas

n = 753
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Testo statistika

t = (46 − 50)/2,222 = −1,8

Atsakymas

t = −1,8
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 0,6358

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 20/80 = 0,25
p̂₂ = 21/100 = 0,21
p̂ = 41/180 = 0,2278

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,2278·0,7722·(1/80 + 1/100)) = 0,06291

Testo statistika

z = (0,25 − 0,21)/0,06291 = 0,6358

Atsakymas

z = 0,6358

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9921

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 247/5 = 49,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
Syy = Σ(y − ȳ)² = 683,2

Koreliacijos koeficientas

r = 164/√(40·683,2) = 0,9921

Atsakymas

r = 0,9921
8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,057

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

Regresijos tiesė

b = −36/17,5 = −2,057
a = 18 − (−2,057)·3,5 = 25,2
ŷ = 25,2 − 2,057·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 25,2 + (−2,057)·4,5 = 15,94

Liekana

e = 20 − 15,94 = 4,057

Atsakymas

e = 4,057

Taškas yra virš tiesės.

9.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 0,7583

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 60·35/140 = 15, 60·49/140 = 21, 60·56/140 = 24
kaimo: 80·35/140 = 20, 80·49/140 = 28, 80·56/140 = 32

Chi kvadrato statistika

χ² = (13 − 15)²/15 + (21 − 21)²/21 + (26 − 24)²/24 + (22 − 20)²/20 + (28 − 28)²/28 + (30 − 32)²/32
χ² = 0,7583

Atsakymas

χ² = 0,7583

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

10.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²crit = 9,21

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 3 − 1 = 2

Lentelė

χ²crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Atsakymas

χ²crit = 9,210

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference