Statistika 2: statistinės išvados: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Normalusis skirstinysVidutinis
105 s114,6 sX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 114,6 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 114,6 s
P =
2.Normalusis skirstinysSunkus
10 cm0X − Y?

Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 11, sd​ = 80LUd̄ = 0,9E = ?99%

11 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 0,9, o standartinis nuokrypis 8. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 11d̄ = 0,9sd = 899%t(10) = 3,169
E = mmHg
4.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 27. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 27E = 295%
n =
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,06402,064

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 115,6, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,6s = 10n = 25
t =
6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₀x̄c

Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500 atliekamas, kai α = 0,10, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 12. Iš tikrųjų vidurkis lygus 502,4. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 500μ = 502,4σ = 12n = 36α = 0,10
β = %
7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy147244347453567663xy2465060

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy128225321419517616xy2462025x = 2,5

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 26). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 26)
e =
9.Chi kvadrato testaiVidutinis
be defektųnežymusdidelisIš visodieninė pamaina23122560naktinė pamaina13242360Iš viso363648120

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1202 × 3
χ² =
10.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 5 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 5
df =

3Tirpalai

1.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,06681

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681
2.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7389

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartizuokite

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Atsakymas

P = 0,7389
3.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 7,644 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 10, t = 3,169

Paklaidos riba

E = 3,169·8/√11 = 7,644

Atsakymas

E = 7,644 mmHg
4.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 701

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·27/2)² = 700,1

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 701

Atsakymas

n = 701
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Testo statistika

t = (115,6 − 120)/2 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 53,27 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 12/√36 = 2
x̄c = 500 + 1,282·2 = 502,6

z esant tikrajam vidurkiui

z = (502,6 − 502,4)/2 = 0,082

II rūšies klaida

galia = P(Z > 0,082) = 46,73%
β = 100% − 46,73% = 53,27%

Atsakymas

β = 53,27%
7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,8758

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 321/6 = 53,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 447,5

Koreliacijos koeficientas

r = 77,5/√(17,5·447,5) = 0,8758

Atsakymas

r = 0,8758
8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 2,543

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43

Regresijos tiesė

b = −43/17,5 = −2,457
a = 21 − (−2,457)·3,5 = 29,6
ŷ = 29,6 − 2,457·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 29,6 + (−2,457)·2,5 = 23,46

Liekana

e = 26 − 23,46 = 2,543

Atsakymas

e = 2,543

Taškas yra virš tiesės.

9.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 6,861

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24
naktinė pamaina: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24

Chi kvadrato statistika

χ² = (23 − 18)²/18 + (12 − 18)²/18 + (25 − 24)²/24 + (13 − 18)²/18 + (24 − 18)²/18 + (23 − 24)²/24
χ² = 6,861

Atsakymas

χ² = 6,861

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

10.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 3

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Laisvės laipsniai

df = 5 − 1 − 1 = 3

Atsakymas

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference