Statistika 2: statistinės išvados: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika
χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas
atmeskite H0, jei χ² > χ²crit

2Uždaviniai

1.Normalusis skirstinysVidutinis
750 g769,7 gX + Y?

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 769,7 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g
P =
2.Normalusis skirstinysSunkus
10 g0X − Y?

Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
3.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 8, s = 6LU = ?x̄ = 91E95%

8 elementų imties vidurkis – 91, standartinis nuokrypis s = 6. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 8x̄ = 91s = 695%t(7) = 2,365
viršutinis rėžis =
4.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
p ≈ 0,8, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0390%

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,8. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?

p ≈ 0,8E = 0,0390%
n =
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−2,4472,447t = ?df = 6

7 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 13,86, o skirtumų standartinis nuokrypis 9,4. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.

n = 7d̄ = 13,86sd = 9,4
t =
6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₀x̄c

Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500 atliekamas, kai α = 0,10, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 24. Iš tikrųjų vidurkis lygus 505,4. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 500μ = 505,4σ = 24n = 64α = 0,10
1 − β = %
7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy235334441549652xy2464050

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 20Σy = 211Σx² = 90Σy² = 9167Σxy = 893
r =
8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy120219316413512xy241520ŷ = 17

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 17?

n = 5ŷ = 17
x =
9.Chi kvadrato testaiVidutinis
autobusasdviratisautomobilisIš visostudentai9213060darbuotojai235126100Iš viso327256160

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 3
χ² =
10.Chi kvadrato testaiSunkus
taipneIš visoamžius 18–30372360amžius 31–50211940amžius 51+122840Iš viso7070140dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 1403 × 2α = 0,05
χ² =

3Tirpalai

1.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,02275

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartizuokite

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275
2.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartizuokite

z = (0 − 10)/10 = −1

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413
3.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 96,02

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Paklaidos riba

E = 2,365·6/√8 = 5,017

Intervalas

91 ± 5,017 → [85,98, 96,02]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 96,02
4.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 482

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,8·0,2/0,03² = 481,1

Apvalinkite aukštyn

n = 482

Atsakymas

n = 482
5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 3,901

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 9,4/√7 = 3,553

Testo statistika

t = 13,86/3,553 = 3,901

Atsakymas

t = 3,901

Kai df = 6, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,447; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 69,78 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 24/√64 = 3
x̄c = 500 + 1,282·3 = 503,8

z esant tikrajam vidurkiui

z = (503,8 − 505,4)/3 = −0,518

Galia

galia = P(Z > −0,518) = 69,78%
1 − β = 69,78%

Atsakymas

1 − β = 69,78%
7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9558

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 893 − 20·211/5 = 49
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 9167 − 211²/5 = 262,8

Koreliacijos koeficientas

r = 49/√(10·262,8) = 0,9558

Atsakymas

r = 0,9558
8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 2,545

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 80/5 = 16

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

Regresijos tiesė

b = −22/10 = −2,2
a = 16 − (−2,2)·3 = 22,6
ŷ = 22,6 − 2,2·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (17 − 22,6)/(−2,2) = 2,545

Atsakymas

x = 2,545
9.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 9,505

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

studentai: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21
darbuotojai: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35

Chi kvadrato statistika

χ² = (9 − 12)²/12 + (21 − 27)²/27 + (30 − 21)²/21 + (23 − 20)²/20 + (51 − 45)²/45 + (26 − 35)²/35
χ² = 9,505

Atsakymas

χ² = 9,505

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

10.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 9,767

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 30, 30
amžius 31–50: 20, 20
amžius 51+: 20, 20

Chi kvadrato statistika

χ² = (37 − 30)²/30 + (23 − 30)²/30 + (21 − 20)²/20 + (19 − 20)²/20 + (12 − 20)²/20 + (28 − 20)²/20
χ² = 9,767

Sprendimas

df = 2, χ²crit = 5,991
9,767 > 5,991

Atsakymas

χ² = 9,767

χ² didesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ atmetama: atrodo, kad kintamieji susiję.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference