Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,4647. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 1,8. Kokia yra 99 % intervalo, pagrįsto 144 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 12. Atsitiktinės 64 stebėjimų imties vidurkis 78,38. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ ≠ 80. Raskite p reikšmę p.
16 matavimų imties vidurkis – 190,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (24,5, 63). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, nežymus“ tikėtiną dažnį E.
Chi kvadrato suderinamumo testas tikrina, ar dažniai 4 kategorijose atitinka Puasono skirstinį, kurio vidurkis įvertintas iš tų pačių duomenų. Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.
Atsakymas: z = 0,62
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Lentelėje suraskite 0,7324 ir nuskaitykite z.
Atsakymas: x = 578,4 h
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Atsakymas: E₂ = 1,409
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Atsakymas: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Atsakymas: p = 0,2801
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
Atsakymas: U = 197,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Atsakymas: r = −0,9452
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Atsakymas: e = −4,9
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Taškas yra po tiese.
Atsakymas: E = 38,58
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Atsakymas: χ²crit = 5,991
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference