Statistika 2: statistinės išvados: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Normalusis skirstinysVidutinis

dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 9 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 109,2 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9< 109.2 kg

P =

2.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

3.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

9 elementų imties vidurkis – 97,5, standartinis nuokrypis s = 20. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 9x̄ = 97,5s = 2099%t(8) = 3,355

viršutinis rėžis =

4.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 18E = 290%

n =

5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 120; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 10. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 115,72. Tikrinkite H₀: μ = 120 prieš H₁: μ < 120. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 120σ = 10n = 25x̄ = 115,72H₁: μ < μ₀

p =

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 119,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 119,2σ = 4n = 6499%

L =

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 17?

n = 6ŷ = 17

x =

9.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 802 × 3

χ² =

10.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 11 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²_crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Tirpalai

1.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Standartizuokite

z = (109,2 − 108)/2,4 = 0,5

Tikimybė

P = Φ(0,5) = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

2.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 254,2 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,8

z iš lentelės

z ≈ 0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Atsakymas

x = 254,2 g

3.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 119,9

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Paklaidos riba

E = 3,355·20/√9 = 22,37

Intervalas

97,5 ± 22,37 → [75,13, 119,9]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 119,9

4.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 220

Išreikškite n

n = (1,645·18/2)² = 219,2

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 220

Atsakymas

n = 220

5.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,01618

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 10/√25 = 2

z = (115,72 − 120)/2 = −2,14

Uodegos plotas

Φ(2,14) = 0,9838

1 − Φ(2,14) = 0,0162

p reikšmė

p = 0,01618

Atsakymas

p = 0,01618

p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

6.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 117,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·4/√64 = 1,288

Intervalo rėžis

L = 119,2 − 1,288 = 117,9

Atsakymas

L = 117,9

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9971

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 104/5 = 20,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 410,8

Determinacijos koeficientas

r² = 128²/(40·410,8) = 0,9971

Atsakymas

r² = 0,9971

Apie 99,71% y kitimo paaiškinama tiese.

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 11,09

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 61/6 = 10,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 117

Regresijos tiesė

b = 117/70 = 1,671

a = 10,17 − 1,671·7 = −1,533

ŷ = −1,533 + 1,671·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (17 − (−1,533))/1,671 = 11,09

Atsakymas

x = 11,09

9.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 1,98

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

dieninė pamaina: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14

naktinė pamaina: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14

Chi kvadrato statistika

χ² = (7 − 8)²/8 + (16 − 18)²/18 + (17 − 14)²/14 + (9 − 8)²/8 + (20 − 18)²/18 + (11 − 14)²/14

χ² = 1,98

Atsakymas

χ² = 1,98

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) neatmetama.

10.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ²_crit = 23,21

Laisvės laipsniai

df = 11 − 1 = 10

Lentelė

χ²_crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Atsakymas

χ²_crit = 23,209

H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference