Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNABCRB​ = ?3 m3 m2 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 6 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 6 mAC = 8 mP1 = 35 kN ties 3 mP2 = 15 kN ties 8 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 30 kN, 40°Q = 75 kNABRA​ = ?4 m2 m2 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 4 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 40° kampu į horizontalę, o 6 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.

L = 8 mP = 30 kN ties 4 m, θ = 40°Q = 75 kN ties 6 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 8 kN/mP = 50 kNAB2 m3 m

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą MA įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 50 kN ties 2 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 5 m
MA = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 6 kN/mP = 45 kNABpjūvis2 m6 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 45 kN ties 2 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB55 kN6 m4 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB25 kN15 kN4 m1 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←
FBC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 15 kN/mδL = 4 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
P = 35 kNAB2,5 m2,5 m

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją RB.

L = 5 mP = 35 kN ties 2,5 m
RB = kN
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 m30 × 100 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 80 kNL = 3 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 80 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 80 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 37,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·3 + 15·8
RB = 225/6 = 37,5 kN

Vertikalioji pusiausvyra

RA = 35 + 15 − 37,5 = 12,5 kN

Atsakymas

RB = 37,5 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 36,53 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 30·sin 40° = 19,28 kN
Ph = 30·cos 40° = 22,98 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·8 = 19,28·4 + 75·6 → RB = 65,89 kN
Ay = 19,28 + 75 − 65,89 = 28,39 kN
Ax = Ph = 22,98 kN

Atstojamoji ties A

RA = √(22,98² + 28,39²) = 36,53 kN

Atsakymas

RA = 36,53 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: MA = −200 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −50·2 = −100 kN·m
w: −8·5²/2 = −100 kN·m
MA = −100 − 100 = −200 kN·m

Atsakymas

MA = −200 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 103,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 6·8·4
RB = 282/8 = 35,25 kN
ΣFy = 0: RA = 93 − 35,25 = 57,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 57,75RB​ = 35,25pjūvis2 m6 m

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 57,75·2 − 6·2·1 = 103,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 103,5 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −51,85 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·4 → Cy = 36,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 36,67 = 18,33 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36,67/0,7071 = −51,85 kN

Atsakymas

FBC = −51,85 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = 7,071 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB25 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 − 15·3 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −5 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−5/0,7071 = 7,071 kN

Atsakymas

FBC = 7,071 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 28,41 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 28,41 mm

Atsakymas

δmax = 28,41 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: RB = 10,94 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga RB pakelia laisvąjį galą dydžiu RBL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Atsakymas

RB = 10,94 kN
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 79,31 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1400² = 79309 N = 79,31 kN

Atsakymas

Pcr = 79,31 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 85,35 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 85,35 mm

Atsakymas

d = 85,35 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 140,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis