Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P = 30 kNM = 30 kN·mABRB​ = ?2 m2 m2 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 4 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 6 mP = 30 kN ties 2 mM = 30 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 4 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 2 kN/mP = 35 kNABCRB​ = ?2 m2 m2 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 4 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 2 m iki laisvojo galo ties 6 m. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 4 mAC = 6 mP = 35 kN ties 2 mw = 2 kN/m nuo 2 iki 6 m
RB = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 80 kNP2​ = 15 kNAB4 m4 m2 m

Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 10 mP1 = 80 kN ties 4 mP2 = 15 kN ties 8 m
Mmax = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 6 kN/mP = 25 kNABpjūvis3,5 m0,5 m1 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 3,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 25 kN ties 4 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH25 kN35 kN4 × 3 m4 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 25 kN ↓G: 35 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABCDEFGH10 kN40 kN15 kN30 kN10 kN40 kN4 × 3 m4 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN ↓F: 30 kN →G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 15 kN/mδL = 1,5 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
P = 60 kNAB1,5 m1,5 m

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją RB.

L = 3 mP = 60 kN ties 1,5 m
RB = kN
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 m30 × 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 10 kNL = 4 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 10 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 10 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 15 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣMA = 0: RB·6 − 30·2 − 30 = 0
RB = 90/6 = 15 kN

Vertikalioji pusiausvyra

RA = 30 − 15 = 15 kN

Atsakymas

RB = 15 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 25,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 2·4 = 8 kN, x̄ = (2 + 6)/2 = 4 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 8·4
RB = 102/4 = 25,5 kN
RA = 43 − 25,5 = 17,5 kN

Atsakymas

RB = 25,5 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 204 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·10 = 80·4 + 15·8
RB = 440/10 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 44 = 51 kN

Momentas po kiekviena apkrova

Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.

po P1: M = RA·4 = 51·4 = 204 kN·m
po P2: M = RB·2 = 44·2 = 88 kN·m

Didžiausia reikšmė

Mmax = 204 kN·m (po P1)

Atsakymas

Mmax = 204 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 33,25 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·4 + 6·5·2,5
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 35 = 20 kN
w = 6 kN/mP = 25 kNABRA​ = 20RB​ = 35pjūvis3,5 m0,5 m1 m

Perpjaukite ties x = 3,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 20·3,5 − 6·3,5·1,75 = 33,25 kN·m

Atsakymas

Mx = 33,25 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 17,81 kN (T), BC: 35,63 kN (T), CD: 35,63 kN (T), DE: 27,19 kN (T), FG: 17,81 kN (C), GH: 27,19 kN (C), AF: 29,69 kN (C), HE: 45,31 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 36,25 kN (T), BG: 29,69 kN (C), DG: 14,06 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 53,44 kN (T), BC: 53,44 kN (T), CD: 62,81 kN (T), DE: 62,81 kN (T), FG: 65,63 kN (C), GH: 65,63 kN (C), AF: 39,06 kN (C), HE: 104,7 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 20,31 kN (T), HC: 4,688 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 71,91 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1,32 × 10¹¹) = 71,91 mm

Atsakymas

δ = 71,91 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: RB = 18,75 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga RB pakelia laisvąjį galą dydžiu RBL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Atsakymas

RB = 18,75 kN
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 7,106 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/5000² = 7106 N = 7,106 kN

Atsakymas

Pcr = 7,106 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 37,71 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 37,71 mm

Atsakymas

d = 37,71 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 297, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis