Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 6 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją R_B, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 30 kN ties 5 mP₂ = 75 kN ties 8 m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 3,5 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 50° kampu į horizontalę, o 2 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą R_A.

L = 4 mP = 55 kN ties 3,5 m, θ = 50°Q = 30 kN ties 2 m

R_A = kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 6 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mM₀ = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 6 m

M_x = kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_max tarp atramų.

L = 10,5 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 10,5 matramos ties x = 0 ir x = 8 m

M_max = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kNhorizontalioji apkrova = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 6 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 125 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·5 + 75·8

R_B = 750/6 = 125 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 30 + 75 − 125 = −20 kN

Atsakymas

R_B = 125 kN

R_A neigiama: šarnyras A turi prilaikyti siją, kad ši nepakiltų.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 40,75 kN

P dedamosios

P_v = 55·sin 50° = 42,13 kN

P_h = 55·cos 50° = 35,35 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·4 = 42,13·3,5 + 30·2 → R_B = 51,87 kN

A_y = 42,13 + 30 − 51,87 = 20,27 kN

A_x = P_h = 35,35 kN

Atstojamoji ties A

R_A = √(35,35² + 20,27²) = 40,75 kN

Atsakymas

R_A = 40,75 kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 8,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/8 = 4,375 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −4,375 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra R_A ir jėgų pora.

M_x = R_A·a + M₀ = −4,375·6 + 35 = 8,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 8,75 kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 19,54 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·10,5 = 31,5 kN, veikianti taške x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·10,5·5,25

R_B = 165,4/8 = 20,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31,5 − 20,67 = 10,83 kN

Nulinė skersinė jėga

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 10,83/3 = 3,609 m

Didžiausias teigiamas momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 10,83²/(2·3) = 19,54 kN·m

Atsakymas

M_max = 19,54 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 21 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·3 → C_y = 21 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 21 = 14 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21/0,7071 = −29,7 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−29,7)·0,7071 = 21 kN

Atsakymas

F_AC = 21 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −32,21 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 − 5·4 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 3,75 = 31,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −31,25/0,9701 = −32,21 kN

Atsakymas

F_AB = −32,21 kN (gniuždymas)

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 39,3 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 6000·4000³/(3·1,14 × 10¹³) = 11,23 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 28,07 mm

Sudėkite

δ = 11,23 + 28,07 = 39,3 mm

Atsakymas

δ = 39,3 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·200000·11,11) = 6 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 992,2 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Atsakymas

P_cr = 992,2 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 11,99 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Atsakymas

σ_cr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis