Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 60 kNP2​ = 30 kNABCRB​ = ?2 m1 m1 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 3 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RB, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 60 kN ties 2 mP2 = 30 kN ties 4 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 60 kN, 45°Q = 10 kNABα = ?3 m3 m2 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 3 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 45° kampu į horizontalę, o 6 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite kampą α tarp suminės reakcijos jėgos šarnyre A ir horizontalės.

L = 8 mP = 60 kN ties 3 m, θ = 45°Q = 10 kN ties 6 m
α = °
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 10 kN/mABpjūvis7,5 m0,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 7,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 7,5 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 3 kN/mP = 60 kNABpjūvis3 m1 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 60 kN ties 3 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB20 kN4 m1 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB20 kN15 kN5 m1 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←
FBC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 9 kNABδ1,5 m2,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1,5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 9 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 5 kN/mP = 5 kNδL = 1,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 5 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 m20 × 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 2,5 md = 30 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 80 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣMA = 0: RB·3 = 60·2 + 30·4
RB = 240/3 = 80 kN

Vertikalioji pusiausvyra

RA = 60 + 30 − 80 = 10 kN

Atsakymas

RB = 80 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: α = 34,37 °

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 60·sin 45° = 42,43 kN
Ph = 60·cos 45° = 42,43 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·8 = 42,43·3 + 10·6 → RB = 23,41 kN
Ay = 42,43 + 10 − 23,41 = 29,02 kN
Ax = Ph = 42,43 kN

Kryptis ties A

α = atan(Ay/Ax) = atan(29,02/42,43) = 34,37°

Atsakymas

α = 34,37°
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 18,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40pjūvis7,5 m0,5 m

Perpjaukite ties x = 7,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 40·7,5 − 10·7,5·3,75 = 18,75 kN·m

Atsakymas

Mx = 18,75 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 49,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·3 + 3·4·2
RB = 204/4 = 51 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 51 = 21 kN
w = 3 kN/mP = 60 kNABRA​ = 21RB​ = 51pjūvis3 m1 m

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 21·3 − 3·3·1,5 = 49,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 49,5 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −6,25 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,8 = −6,25 kN

Atsakymas

FBC = −6,25 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = 4,472 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·1 − 15·2 → Cy = −2 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −2 = 22 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−2/0,4472 = 4,472 kN

Atsakymas

FBC = 4,472 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 16,82 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·1500²·2500²/(3·6,27 × 10¹¹·4000) = 16,82 mm

Atsakymas

δP = 16,82 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 7,285 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 5000·1500³/(48·9,35 × 10¹⁰) = 3,76 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 3,525 mm

Sudėkite

δmax = 3,76 + 3,525 = 7,285 mm

Atsakymas

δmax = 7,285 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 9,212 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2000² = 9212 N = 9,212 kN

Atsakymas

Pcr = 9,212 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 71,06 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Atsakymas

σcr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis