Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
w0​ = 4 kN/mP = 30 kNABRB​ = ?1 m9 m

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, didėjanti nuo nulio ties A iki 4 kN/m ties B. 1 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 30 kN ties 1 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 8 kN/mP = 25 kNABCRA​ = ?3 m1 m2 m2 m

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 6 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 3 m iki laisvojo galo ties 8 m. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 6 mAC = 8 mP = 25 kN ties 4 mw = 8 kN/m nuo 3 iki 8 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 75 kNP2​ = 55 kNAB1,5 m2,5 m1 m

Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 5 mP1 = 75 kN ties 1,5 mP2 = 55 kN ties 4 m
Mmax = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 12 kN/mABC8 m2 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą Mmax tarp atramų.

L = 10 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 10 matramos ties x = 0 ir x = 8 m
Mmax = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH40 kN15 kN35 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB50 kN15 kN8 m5 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 50 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 6 kN/mδL = 3 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 8 kN/mδL = 2 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą Ireq, tenkinantį šią sąlygą.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 6 m20 × 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 35 kNL = 2 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 35 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 35 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 16,33 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·10 = 20·6,667 + 30·1
RB = 16,33 kN
RA = 50 − 16,33 = 33,67 kN

Atsakymas

RB = 16,33 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 11,67 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·6 = 25·4 + 40·5,5
RB = 320/6 = 53,33 kN
RA = 65 − 53,33 = 11,67 kN

Atsakymas

RA = 11,67 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 95,25 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·5 = 75·1,5 + 55·4
RB = 332,5/5 = 66,5 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 66,5 = 63,5 kN

Momentas po kiekviena apkrova

Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.

po P1: M = RA·1,5 = 63,5·1,5 = 95,25 kN·m
po P2: M = RB·1 = 66,5·1 = 66,5 kN·m

Didžiausia reikšmė

Mmax = 95,25 kN·m (po P1)

Atsakymas

Mmax = 95,25 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 84,38 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·10·5
RB = 600/8 = 75 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 75 = 45 kN

Nulinė skersinė jėga

RA − w·x0 = 0 → x0 = 45/12 = 3,75 m

Didžiausias teigiamas momentas

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 45²/(2·12) = 84,38 kN·m

Atsakymas

Mmax = 84,38 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 60 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 84,85 kN (C), HE: 42,43 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 21,21 kN (T), DG: 21,21 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 52,5 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 + 15·2 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 35 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −35/0,5547 = −63,1 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−63,1)·0,8321 = 52,5 kN

Atsakymas

FAC = 52,5 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 7,533 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 7,533 mm

Atsakymas

δmax = 7,533 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: Ireq = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Įlinkio riba

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,5 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ireq = 1,5 × 10⁶ mm⁴
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 3,73 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/4200² = 3730 N = 3,73 kN

Atsakymas

Pcr = 3,73 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 36,47 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 36,47 mm

Atsakymas

d = 36,47 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 153,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis