Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
w0​ = 10 kN/mP = 80 kNABRB​ = ?2 m2 m

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, mažėjanti nuo 10 kN/m ties A iki nulio ties B. 2 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 4 mw0 = 10 kN/mP = 80 kN ties 2 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
P = 75 kN, 40°Q = 55 kNABRA​ = ?2 m1,5 m2,5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 2 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 40° kampu į horizontalę, o 3,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą RA.

L = 6 mP = 75 kN ties 2 m, θ = 40°Q = 55 kN ties 3,5 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 3 kN/mABpjūvis2 m6 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 16 kN/mAB2 m3 m

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 5 mw = 16 kN/m nuo 0 iki 2 m
Mmax = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB30 kN5 m1 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 30 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB20 kN15 kN4 m3 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN →
FBC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 4 kN/mδL = 3 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 12 kN/mP = 17 kNδL = 3 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 17 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 3 m25 × 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 80 kNL = 1 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 80 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 80 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 46,67 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·10·4 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1,333 + 80·2
RB = 46,67 kN
RA = 100 − 46,67 = 53,33 kN

Atsakymas

RB = 46,67 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 79,57 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

Pv = 75·sin 40° = 48,21 kN
Ph = 75·cos 40° = 57,45 kN

Reakcijos

ΣMA = 0: RB·6 = 48,21·2 + 55·3,5 → RB = 48,15 kN
Ay = 48,21 + 55 − 48,15 = 55,06 kN
Ax = Ph = 57,45 kN

Atstojamoji ties A

RA = √(57,45² + 55,06²) = 79,57 kN

Atsakymas

RA = 79,57 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 18 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·8·4
RB = 96/8 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12pjūvis2 m6 m

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 12·2 − 3·2·1 = 18 kN·m

Atsakymas

Mx = 18 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 20,48 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·5 = 16·2·1
RB = 32/5 = 6,4 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 6,4 = 25,6 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo RA, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 25,6/16 = 1,6 m

Didžiausias momentas

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 25,6·1,6 − 16·1,6²/2 = 20,48 kN·m

Atsakymas

Mmax = 20,48 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = −24,74 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·1 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 6 = 24 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −24/0,9701 = −24,74 kN

Atsakymas

FAB = −24,74 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −30,92 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 + 15·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 30 = −10 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,9701 = −30,92 kN

Atsakymas

FBC = −30,92 kN (gniuždymas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 6,888 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 6,888 mm

Atsakymas

δ = 6,888 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 26,45 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 17000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 17000·3000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 11,38 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 15,07 mm

Sudėkite

δmax = 11,38 + 15,07 = 26,45 mm

Atsakymas

δmax = 26,45 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 5,997 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/3000² = 5997 N = 5,997 kN

Atsakymas

Pcr = 5,997 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 29,99 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 0,7·1000 = 700 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 29,99 mm

Atsakymas

d = 29,99 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 93,36, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis