Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 3 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 8 mP = 70 kN ties 5 mM = 25 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 3 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi nuliui ir didėja iki 12 kN/m laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 75 kN ties 2 m

M_A = kN·m

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P₁ tarp atramų ir sutelktoji jėga P₂ taške C. Raskite lenkimo momentą M_x po apkrova P₁. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP₁ = 40 kN ties 2,5 mP₂ = 65 kN ties 8 matramos ties x = 0 ir x = 6 m

M_x = kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 20 kN ties 4 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 10 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 150 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/300. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 150 mm

h_req = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 135 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 135 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 23,13 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 70·5 − 25 = 0

R_B = 375/8 = 46,88 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 70 − 46,88 = 23,13 kN

Atsakymas

R_A = 23,13 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 214 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = W·x̄ + P·a = 24·2,667 + 75·2 = 214 kN·m

Atsakymas

M_A = 214 kN·m

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 4,167 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2,5 + 65·8

R_B = 620/6 = 103,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 103,3 = 1,667 kN

Pjūvis po P₁, paliekama kairioji dalis

M_x = R_A·2,5 = 1,667·2,5 = 4,167 kN·m

Atsakymas

M_x = 4,167 kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 120 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·4 + 10·8·4

R_B = 400/8 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 50·4 − 10·4·2 = 120 kN·m

Atsakymas

M_x = 120 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 2,5 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,7071 = −3,536 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3,536)·0,7071 = 2,5 kN

Atsakymas

F_AC = 2,5 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −39,6 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·3 − 10·3 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 27 = 28 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −28/0,7071 = −39,6 kN

Atsakymas

F_AB = −39,6 kN (gniuždymas)

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 5,102 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 5,102 mm

Atsakymas

δ = 5,102 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 153,8 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·13,33) = 4,545 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·4,545 × 10⁷/150)^1/3 = 153,8 mm

Atsakymas

h_req = 153,8 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,905 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Atsakymas

P_cr = 4,905 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 88,88 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 88,88 mm

Atsakymas

d = 88,88 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 126, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Metodas

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Metodas

Santvara: mazgų metodas

Metodas

Sijos įlinkis

Kolonų klupimas

2Uždaviniai

3Tirpalai

Momentai A atžvilgiu

Vertikalioji pusiausvyra

Atsakymas

Trikampės apkrovos atstojamoji

Momentas sienos atžvilgiu

Atsakymas

Atramų reakcijos

Pjūvis po P1, paliekama kairioji dalis

Atsakymas

Atramų reakcijos

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Atsakymas

Atramų reakcijos

Mazgas C

Atsakymas

Atramų reakcijos

Mazgas A

Atsakymas

Suderinti vienetai

Įlinkis

Atsakymas

Suderinti vienetai

Įlinkio riba

Reikiamas inercijos momentas

Reikiamas aukštis

Atsakymas

Mažiausias inercijos momentas

Skaičiuojamasis ilgis

Kritinė jėga

Atsakymas

Reikiama kritinė jėga

Išreiškite skersmenį

Atsakymas

Pjūvis po P₁, paliekama kairioji dalis