Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 45 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​5 m2 m1 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.

L = 8 mP1 = 45 kN ties 5 mP2 = 25 kN ties 7 m
RA = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m2 m3 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.

L = 8 mP = 55 kN ties 2 mw = 6 kN/m nuo 3 iki 5 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 12 kN/mABpjūvis7 m3 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 7 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 7 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 4 kN/mP = 15 kNABpjūvis1 m4,5 m0,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 5,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 15 kN ties 1 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 5,5 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH20 kN10 kN25 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

F: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas BG
  13. 13elementas DG
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABCDEFGH20 kN30 kN20 kN20 kN40 kN15 kN4 × 4 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

C: 20 kN ↓D: 30 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 5 kNABδ0,5 m2 m

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 0,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δB laisvajame gale B.

P = 5 kNa = 0,5 mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
P = 8 kNP = 8 kNABδ2 m2 m2 m

Laisvai atremta sija apkrauta dviem vienodomis sutelktosiomis jėgomis P trečdalio taškuose (L/3 nuo kiekvienos atramos). Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį tarpatramio viduryje δmax.

P = 8 kNL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 m20 × 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 5 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 20 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 45 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​5 m2 m1 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·8 = 45·5 + 25·7
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 50 = 20 kN

Atsakymas

RA = 20 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 47,25 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​RB​2 m1 m2 m3 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·2 + 6·2·4
RB = 158/8 = 19,75 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 19,75 = 47,25 kN

Atsakymas

RA = 47,25 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 126 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60pjūvis7 m3 m

Perpjaukite ties x = 7 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 60·7 − 12·7·3,5 = 126 kN·m

Atsakymas

Mx = 126 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 6,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·1 + 4·6·3
RB = 87/6 = 14,5 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 14,5 = 24,5 kN
w = 4 kN/mP = 15 kNABRA​ = 24,5RB​ = 14,5pjūvis1 m4,5 m0,5 m

Perpjaukite ties x = 5,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 24,5·5,5 − 15·(5,5 − 1) − 4·5,5·2,75 = 6,75 kN·m

Atsakymas

Mx = 6,75 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 26,25 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 28,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 5,303 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 58,75 kN (T), BC: 58,75 kN (T), CD: 99,58 kN (T), DE: 99,58 kN (T), FG: 120,8 kN (C), GH: 120,8 kN (C), AF: 92,19 kN (C), HE: 124,5 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 58,85 kN (T), HC: 7,813 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δB = 1,105 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δP = Pa³/(3EI) = 0,1578 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0004735 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,105 mm

Atsakymas

δB = 1,105 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 25,56 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 8000 N, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Viena apkrova taške L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 12,78 mm

Sudėkite abi apkrovas

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 25,56 mm

Atsakymas

δmax = 25,56 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 107,4 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/700² = 107424 N = 107,4 kN

Atsakymas

Pcr = 107,4 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 1,079 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/12,5 = 800

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Atsakymas

σcr = 1,079 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis