Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (prieš laikrodžio rodyklę), esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_B, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 6 mP = 70 kN ties 5 mM = 10 kN·m (prieš laikrodžio rodyklę) ties 1 m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 1,5 m atstumu nuo A. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

AC = 3 mAD = 6 mP = 10 kN ties 5 mw = 6 kN/m nuo 3 iki 6 mQ = 25 kN ties 1,5 m

M_A = kN·m

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

20 kN @ 10 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 0 m30 kN @ 12 m15 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 40 kN

F_BC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 40 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN ←

F_BC = kN

7.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 11 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite lenkimo momento įtvirtinime didumą M_A.

L = 3 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 90 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 90 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 56,67 kN

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 70·5 + 10 = 0

R_B = 340/6 = 56,67 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 70 − 56,67 = 13,33 kN

Atsakymas

R_B = 56,67 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 74,5 kN·m

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

W = 6·3 = 18 kN ties 1,5 m nuo C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 10·2 + 18·1,5

R_D = 15,67 kN

V_C = 28 − 15,67 = 12,33 kN

Dalis AC

Šarnyro jėga V_C dalį AC veikia žemyn (lygi ir priešinga jos poveikiui daliai CD).

R_A = 25 + 12,33 = 37,33 kN

M_A = 25·1,5 + 12,33·3 = 74,5 kN·m

Atsakymas

M_A = 74,5 kN·m

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 24,67 kN, R₂ = 27,33 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 41,33, M_C = 66,67, M_D = 76 kN·m, M_E = 69,33, M_F = 54,67, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 76 kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 2 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 95 kN, R₂ = 50 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −60, M_D = −20, M_E = −30, M_F = −60, M_G = 0

Atsakymas

Žymė B: M_B = −120 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −31,62 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9487 = −31,62 kN

Atsakymas

F_BC = −31,62 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −27,49 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 − 10·4 → C_y = 26,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 26,67 = 13,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,67/0,9701 = −27,49 kN

Atsakymas

F_BC = −27,49 kN (gniuždymas)

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 37,04 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹¹·3000) = 37,04 mm

Atsakymas

δ_P = 37,04 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: M_A = 13,5 kN·m

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Momentas įtvirtinime

Apkrovų ir papildomos atramos jėgos momentai taško A atžvilgiu.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 54 − 40,5 = 13,5 kN·m

Atsakymas

M_A = 13,5 kN·m

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 65,8 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/5000² = 65797 N = 65,8 kN

Atsakymas

P_cr = 65,8 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 96 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 96 mm

Atsakymas

d = 96 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 166,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis