Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P = 25 kNM = 40 kN·mABRA​ = ?3 m2 m3 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 3 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 8 mP = 25 kN ties 5 mM = 40 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 3 m
RA = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​5 m3 m2 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RA.

L = 10 mP = 55 kN ties 8 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 5 m
RA = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 10 kN/mP = 30 kNAB5 m

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą MA įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 30 kN ties 5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 5 m
MA = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 5 kN/mABC5 m1,5 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą Mmax tarp atramų.

L = 6,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 6,5 matramos ties x = 0 ir x = 5 m
Mmax = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB15 kN6 m5 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB15 kN25 kN4 m3 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN ←
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 19 kNABδ4,5 m1,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 4,5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 19 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 10 kN/mP = 16 kNδL = 2,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 16 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1,5 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 45 kNL = 2 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 45 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 45 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 4,375 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣMA = 0: RB·8 − 25·5 − 40 = 0
RB = 165/8 = 20,63 kN

Vertikalioji pusiausvyra

RA = 25 − 20,63 = 4,375 kN

Atsakymas

RA = 4,375 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 33,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​RB​5 m3 m2 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·8 + 6·5·2,5
RB = 515/10 = 51,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 51,5 = 33,5 kN

Atsakymas

RA = 33,5 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: MA = −275 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −30·5 = −150 kN·m
w: −10·5²/2 = −125 kN·m
MA = −150 − 125 = −275 kN·m

Atsakymas

MA = −275 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 12,94 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·6,5 = 32,5 kN, veikianti taške x̄ = 3,25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·6,5·3,25
RB = 105,6/5 = 21,13 kN
ΣFy = 0: RA = 32,5 − 21,13 = 11,38 kN

Nulinė skersinė jėga

RA − w·x0 = 0 → x0 = 11,38/5 = 2,275 m

Didžiausias teigiamas momentas

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11,38²/(2·5) = 12,94 kN·m

Atsakymas

Mmax = 12,94 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = −6,731 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·5 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12,5 = 2,5 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2,5/0,3714 = −6,731 kN

Atsakymas

FAB = −6,731 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = −2,5 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB15 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 − 25·3 → Cy = −7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −7,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−7,5/0,9487 = 7,906 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(7,906)·0,3162 = −2,5 kN

Atsakymas

FAC = −2,5 kN (gniuždymas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 52,05 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa²b²/(3EIL) = 19000·4500²·1500²/(3·9,24 × 10¹¹·6000) = 52,05 mm

Atsakymas

δP = 52,05 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 5,849 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 16000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 16000·2500³/(48·1,76 × 10¹²) = 2,959 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 2,89 mm

Sudėkite

δmax = 2,959 + 2,89 = 5,849 mm

Atsakymas

δmax = 5,849 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 27,56 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Atsakymas

Pcr = 27,56 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 62,09 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,09 mm

Atsakymas

d = 62,09 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 257,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis