Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m1,5 m1,5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 4 mP1 = 30 kN ties 1 mP2 = 25 kN ties 2,5 m
RB = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 8 kN/mP = 20 kNADCRD​ = ?2,5 m3 m0,5 m

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (2,5 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5,5 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD. Raskite ritininės atramos reakciją RD.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 20 kN ties 5,5 mw = 8 kN/m nuo 2,5 iki 6 m
RD = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 3 kN/mABpjūvis8 m2 m

Raskite skersinę jėgą Vx pjūvyje x = 8 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 8 m
Vx = kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 8 kN/mP = 10 kNAB4,5 m1,5 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 6 mP = 10 kN ties 4,5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 6 m
Mmax = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB15 kN5 m3 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB55 kN30 kN4 m3 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←
FBC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 8 kN/mP = 2 kNABδ3 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 2 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 8 kN/mP = 11 kNδL = 8 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 11 kNw = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 6 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 15 kNL = 2 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 15 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 15 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 23,13 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1 m1,5 m1,5 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 25·2,5
RB = 92,5/4 = 23,13 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 23,13 = 31,88 kN

Atsakymas

RB = 23,13 kN
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RD = 31,14 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

W = 8·3,5 = 28 kN ties 1,75 m nuo C
ΣMC = 0: RD·3,5 = 20·3 + 28·1,75
RD = 31,14 kN
VC = 48 − 31,14 = 16,86 kN

Atsakymas

RD = 31,14 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Vx = −9 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15pjūvis8 m2 m

Perpjaukite ties x = 8 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = RA − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)
Vx = 15 − 3·8 = −9 kN

Atsakymas

Vx = −9 kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 43,89 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·4,5 + 8·6·3
RB = 189/6 = 31,5 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 31,5 = 26,5 kN

Kur V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 26,5/8 = 3,313 m

Didžiausias momentas

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 26,5·3,313 − 8·3,313²/2 = 43,89 kN·m

Atsakymas

Mmax = 43,89 kN·m

Tai yra taške x = 3,313 m nuo A.

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −10,82 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·5 = 15·3 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9 = 6 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9/0,8321 = −10,82 kN

Atsakymas

FBC = −10,82 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −11,6 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB55 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 − 30·4 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11,25 = 43,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,9701 = −11,6 kN

Atsakymas

FBC = −11,6 kN (gniuždymas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 58,24 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 2000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(3EI) = 2000·3000³/(3·1,7 × 10¹²) = 10,59 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 47,65 mm

Sudėkite

δ = 10,59 + 47,65 = 58,24 mm

Atsakymas

δ = 58,24 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 47,72 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, w = 8 N/mm, L = 8000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 11000·8000³/(48·1,14 × 10¹³) = 10,29 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 37,43 mm

Sudėkite

δmax = 10,29 + 37,43 = 47,72 mm

Atsakymas

δmax = 47,72 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 6,89 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6,89 kN

Atsakymas

Pcr = 6,89 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 64,86 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 64,86 mm

Atsakymas

d = 64,86 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 246,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis