Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 10 mP₁ = 60 kN ties 2 mP₂ = 55 kN ties 7 m

R_A = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (4 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (8 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 6 m atstumu nuo A ir sutelktoji jėga Q, esanti 3 m atstumu nuo A. Raskite ritininės atramos reakciją R_D.

AC = 4 mAD = 8 mP = 25 kN ties 6 mQ = 60 kN ties 3 m

R_D = kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P₁ tarp atramų ir sutelktoji jėga P₂ taške C. Raskite lenkimo momentą M_B ties atrama B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP₁ = 20 kN ties 1 mP₂ = 20 kN ties 10 matramos ties x = 0 ir x = 8 m

M_B = kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 9 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 60 kN ties 3 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 35 kN ↓G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 2 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 40 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 4 mw = 5 kN/m

R_B = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 105 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 105 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 64,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·2 + 55·7

R_B = 505/10 = 50,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 50,5 = 64,5 kN

Atsakymas

R_A = 64,5 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_D = 12,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 25·2

R_D = 12,5 kN

V_C = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Atsakymas

R_D = 12,5 kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_B = −40 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·1 + 20·10

R_B = 220/8 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 27,5 = 12,5 kN

Pjūvis ties B, paliekama konsolė

Konsolę veikia tik P₂, kurios petys a. Ji lenkia siją virš atramos į viršų (neigiamas lenkimas).

M_B = −P₂·a = −20·2 = −40 kN·m

Atsakymas

M_B = −40 kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 40,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 5·10·5

R_B = 430/10 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 43 = 67 kN

Perpjaukite ties x = 9 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 67·9 − 60·(9 − 3) − 5·9·4,5 = 40,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 40,5 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 18,75 kN (T), BC: 18,75 kN (T), CD: 46,25 kN (T), DE: 46,25 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 26,52 kN (C), HE: 65,41 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 26,52 kN (T), HC: 12,37 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −42,43 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·2 − 15·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 10 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,7071 = −42,43 kN

Atsakymas

F_AB = −42,43 kN (gniuždymas)

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 36,28 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·4000³/(3·5,88 × 10¹²) = 14,51 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 21,77 mm

Sudėkite

δ = 14,51 + 21,77 = 36,28 mm

Atsakymas

δ = 36,28 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 7,5 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7,5 kN

Atsakymas

R_B = 7,5 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 110,2 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110,2 kN

Atsakymas

P_cr = 110,2 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 57,37 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,37 mm

Atsakymas

d = 57,37 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 139,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis