Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
P = 45 kNM = 50 kN·mABRA​ = ?0,5 m0,5 m5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 0,5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 6 mP = 45 kN ties 0,5 mM = 50 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 1 m
RA = kN
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m3 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 5 mP = 20 kN ties 2 mw = 3 kN/m nuo 1 iki 5 m
RB = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
M0​ = 30 kN·mAB1 m3 m

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 30 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 1 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mM0 = 30 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 1 m
Mx = kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 10 kN/mP = 10 kNABpjūvis0,5 m1,5 m2 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 10 kN ties 2 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB55 kN6 m5 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB35 kN5 kN6 m1 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kNhorizontalioji apkrova = 5 kN ←
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 26 kNABδ1,5 m2,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1,5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δP po apkrova.

P = 26 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 6 kN/mP = 8 kNδL = 2,5 m

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δmax.

P = 8 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 6 md = 25 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 5 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RA = 32,92 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣMA = 0: RB·6 − 45·0,5 − 50 = 0
RB = 72,5/6 = 12,08 kN

Vertikalioji pusiausvyra

RA = 45 − 12,08 = 32,92 kN

Atsakymas

RA = 32,92 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 15,2 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m1 m3 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2 + 3·4·3
RB = 76/5 = 15,2 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 15,2 = 16,8 kN

Atsakymas

RB = 15,2 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 22,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 30/4 = 7,5 kN (aukštyn)
RA = −RB = −7,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra RA ir jėgų pora.

Mx = RA·a + M0 = −7,5·1 + 30 = 22,5 kN·m

Atsakymas

Mx = 22,5 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 11,25 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2 + 10·4·2
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 25RB​ = 25pjūvis0,5 m1,5 m2 m

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 25·0,5 − 10·0,5·0,25 = 11,25 kN·m

Atsakymas

Mx = 11,25 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAB = −14,67 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·5 → Cy = 45,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 45,83 = 9,167 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9,167/0,6247 = −14,67 kN

Atsakymas

FAB = −14,67 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 10,42 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB35 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·1 − 5·2 → Cy = 4,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 4,167 = 30,83 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4,167/0,3714 = −11,22 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11,22)·0,9285 = 10,42 kN

Atsakymas

FAC = 10,42 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δP = 2,673 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δP = Pa²b²/(3EIL) = 26000·1500²·2500²/(3·1,14 × 10¹³·4000) = 2,673 mm

Atsakymas

δP = 2,673 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 6,733 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 8000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δP = PL³/(48EI) = 8000·2500³/(48·8,4 × 10¹¹) = 3,1 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 3,633 mm

Sudėkite

δmax = 3,1 + 3,633 = 6,733 mm

Atsakymas

δmax = 6,733 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 2,146 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4200² = 2146 N = 2,146 kN

Atsakymas

Pcr = 2,146 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 1,079 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/12,5 = 800

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Atsakymas

σcr = 1,079 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis