Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 7 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

L = 8 mP = 80 kN ties 7 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 8 m

M_A = kN·m

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 5,5 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 30° kampu į horizontalę, o 0,5 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą R_A.

L = 6 mP = 45 kN ties 5,5 m, θ = 30°Q = 20 kN ties 0,5 m

R_A = kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 3 mP = 55 kN ties 2,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 3 m

M_A = kN·m

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 0 m55 kN @ 6 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 30 kN ↓D: 30 kN ↓F: 15 kN ↓H: 10 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 20 kN ↓C: 25 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ←

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

7.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 16 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 944 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija R_A ir reakcijos momentas M_A. ΣF_y = 0 duoda R_A, o momentai sienos atžvilgiu duoda M_A = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 12·8 = 96 kN, x̄ = 4 m

Momentas sienos atžvilgiu

M_A = P·a + W·x̄ = 80·7 + 96·4 = 944 kN·m

Atsakymas

M_A = 944 kN·m

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 43,9 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

P dedamosios

P_v = 45·sin 30° = 22,5 kN

P_h = 45·cos 30° = 38,97 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·6 = 22,5·5,5 + 20·0,5 → R_B = 22,29 kN

A_y = 22,5 + 20 − 22,29 = 20,21 kN

A_x = P_h = 38,97 kN

Atstojamoji ties A

R_A = √(38,97² + 20,21²) = 43,9 kN

Atsakymas

R_A = 43,9 kN

3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −160 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −55·2,5 = −137,5 kN·m

w: −5·3²/2 = −22,5 kN·m

M_A = −137,5 − 22,5 = −160 kN·m

Atsakymas

M_A = −160 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 40 kN, R₂ = 85 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −50, M_D = −80, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −110 kN·m

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 43,75 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 43,75 kN (C), GH: 41,25 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 1,768 kN (T), DG: 1,768 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas DH

Mazgas D

CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 51,25 kN (T), BC: 51,25 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 86,62 kN (C), HE: 47,73 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 22,98 kN (T), HC: 47,73 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: DH

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 15,05 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 16000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 11,57 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006944 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,05 mm

Atsakymas

δ_B = 15,05 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·70000·5,556) = 8,036 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 6,759 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1400² = 6759 N = 6,759 kN

Atsakymas

P_cr = 6,759 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 12,34 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Atsakymas

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis