Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
w = 8 kN/mP = 45 kNABMA​ = ?4,5 m0,5 m

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 4,5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.

L = 5 mP = 45 kN ties 4,5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 5 m
MA = kN·m
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w0​ = 15 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?2 m4 m

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 15 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 2 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.

L = 6 mw0 = 15 kN/mP = 70 kN ties 2 m
MA = kN·m
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNABC7 m1 m2 m

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P1 tarp atramų ir sutelktoji jėga P2 taške C. Raskite skersinę jėgą Vx iš karto kairiau atramos B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP1 = 35 kN ties 7 mP2 = 15 kN ties 10 matramos ties x = 0 ir x = 8 m
Vx = kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 2 kN/mP = 50 kNABpjūvis0,5 m1,5 m4 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 50 kN ties 2 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABBCACACB35 kN8 m6 m4 m

Mazgų metodu raskite jėgą FBC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 4 mB yra 6 m nuo Avertikalioji apkrova = 35 kN
FBC = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB25 kN20 kN6 m4 m2 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 4 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN ←
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
P = 12 kNABδ3,5 m0,5 m

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 3,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δB laisvajame gale B.

P = 12 kNa = 3,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 2,5 kN/mABδ4 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 125 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 125 mm
hreq = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 5 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 2 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: MA = 302,5 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2,5 m

Momentas sienos atžvilgiu

MA = P·a + W·x̄ = 45·4,5 + 40·2,5 = 302,5 kN·m

Atsakymas

MA = 302,5 kN·m
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: MA = 230 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·15·6 = 45 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Momentas sienos atžvilgiu

MA = W·x̄ + P·a = 45·2 + 70·2 = 230 kN·m

Atsakymas

MA = 230 kN·m
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Vx = −34,38 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣMA = 0: RB·8 = 35·7 + 15·10
RB = 395/8 = 49,38 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 49,38 = 0,625 kN

Pjūvis iš karto kairiau B, paliekama kairioji dalis

Vx = RA − P1 = 0,625 − 35 = −34,38 kN

Atsakymas

Vx = −34,38 kN
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 19,42 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·2 + 2·6·3
RB = 136/6 = 22,67 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 22,67 = 39,33 kN
w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​ = 39,33RB​ = 22,67pjūvis0,5 m1,5 m4 m

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 39,33·0,5 − 2·0,5·0,25 = 19,42 kN·m

Atsakymas

Mx = 19,42 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FBC = −29,35 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·6 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −26,25/0,8944 = −29,35 kN

Atsakymas

FBC = −29,35 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 10 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB25 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·4 − 20·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 10 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,7071 = −14,14 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14,14)·0,7071 = 10 kN

Atsakymas

FAC = 10 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δB = 52,19 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δP = Pa³/(3EI) = 42,98 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01842 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 52,19 mm

Atsakymas

δB = 52,19 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: hreq = 165,7 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·16) = 4,735 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,735 × 10⁷/125)1/3 = 165,7 mm

Atsakymas

hreq = 165,7 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 4,395 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4,395 kN

Atsakymas

Pcr = 4,395 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 6,747 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/12,5 = 320

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Atsakymas

σcr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis